3n+1_problem      ... a short Description  
   Collatz_Problem    ... Antwort in Kurzform

 
Deutscher Text  (unten)

      
       Identifications to 3n+1_sequences:                    / ... a short edition in ENGLISH  /
 
   n  first or any number of a sequence 
    i  numbers per sequence (steps, operations) to end 1
  m  numbers per multiplications
    s  upper boundary for first numbers n  to sequences with m multiplications
       A sequence with the first number 2^i will be called '3n+1 basicsequence'.
       for example   64  32, 16, 8, 4, 2, 1.  = 6 steps (only divisions, no multiplication)
  • Certain odd values n and n' of each sequence have a dependent relationship.
    n' is depending on one previous n - not necessary the last one.
    n' is explicitly and directly calculable     on the prime factors of (n+1).  NEW:
    n' = (((n+1) / 2^j ) * 3^j -1) / 2^e   
    Details to the     compressed sequence    :   Die komprimierte Collatz-Folge 
     
  • To any arbitrary sequence consisting of divisions and multiplications exists one equal 3n+1_basicsequence without multiplications.
       Details:   Neues bei Collatz, Ulam & Co  and
           Antwort zu Collatz-Problem:  Permutation der Folge 2^i
     
  • Estimation for upper boundary s (depending on i and m):   s <= (2^i) / (6^m)   NEW!
    To each finite n exists a boundary s with finete i and m and consequently a finite basicsequence with the immanent end by 1.
    Out of this     basicsequence results by exchange or permutation of divisions or multiplications the normal 3n+1_sequence with the unmodified end 8, 4, 2, 1 .
    Important:     16 (mod 3 =1) is the smallest number >4  found by 3n+1_multiplications.
     
  • A counter evidence to the 3n+1_conjecture would be a sequence with an infinite end and an associated basicsequence with an infinte i. An infinite i cannot exist in the 'countable area', because there is always any sufficiently large basicsequence with associated 3n+1_sequences.
     


      
       Bezeichnungen für 3n+1_Folgen:
 
   n  Startzahl, auch beliebiege Zahl einer Folge 
    i  Anzahl der Glieder (Schritte, Operationen) einer Folge, bis Folgenende bei 1
  m  Anzahl der Multiplikationen
    s  Obere Schranke für Startzahlen n zu Folgen mit m Multiplikationen
       Eine Folge mit der Startzahl 2^i (reine 2er Potenz) wird 3n+1 Basisfolge genannt.
       z.B.   64  32, 16, 8, 4, 2, 1.  = 6 Schritte (nur Divisionen, keine Multiplikation)
  • Bestimmte ungerade Folgezahlen n und n' stehen in einer gegenseitigen Beziehung. 
    n' ist abhängig von einem vorangegangenen n - nicht unbedingt dem letzten.
    n' ist eindeutig und direkt berechenbar über die Primfaktoren von (n+1).   NEU:
    n' = (((n+1) / 2^j ) * 3^j -1) / 2^e 
    Details:   Die komprimierte Collatz-Folge 
     
  • Zu jeder beliebig langen 3n+1_Folge aus Multiplikationen und Divisionen gibt es eine gleichlange Basisfolge 2^i ohne eine Multiplikation.
       Details:       Neues bei Collatz, Ulam & Co  und
           Antwort zu Collatz-Problem:  Permutation der Folge 2^i
     
  • Abschätzung für die obere Schranke s (abhängig von i und m)    s <= (2^i) / (6^m)    NEU!
    Zu jedem endlichen n gibt es eine Schranke s mit endlichem i und m und damit auch eine endliche Basisfolge mit dem immanenten Ende bei 1.
    Aus dieser Basisfolge entsteht     durch Tausch bezw. Permutation von Divisionen und Multiplikationen die normale 3n+1_Folge mit dem konstanten Ende 8, 4, 2, 1.    Wichtig:
    16 (mod 3 =1) ist die kleinste Zahl >4, die man mit 3n+1_Multiplikationen findet.     
     
  • Ein konkretes Gegenbeispiel wäre eine 'unendlich' lange 3n+1_Folge, die nicht bei 1 endet. Diese hätte dann eine zugehörige 'unendlich' lange Basisfolge. Eine solche kann es aber im Bereich bis 'abzählbar unendlich' nicht geben. Immer gibt es eine beliegig lange Basisfolge mit einem endlichen i und Ende bei 1 ... mit 'vielen' zugehörigen 3n+1_Folgen..