Experimentelles zu Primzahlabständen

Letzte Ergebnisse zu 100.000 Dezimalstellen unten auf dieser Seite
In der Einführung zu "Relative Häufigkeit von Primzahlabständen" heißt es sinngemäß:

Beim Streichen von Primzahlen nach Eratosthenes ändert sich im Prinzip nichts
an der relativen Häufigkeit von Primzahlabständen.
Die Funktion rh(n) gilt in gleicher Weise vor und nach jedem Streichvorgang.

Dieser Text bedarf einer Vertiefung. Inzwischen können hierzu neuere Untersuchungen vorgelegt werden. Es lohnt sich, gerade deshalb, weil hier bei den 'kleinen Primzahlen' von primini.de sehr hohe Schranken angesprochen werden. Genau dort wiederholt sich exakt, was im niederen Zahlenbereich eingehend dargelegt wurde. Die folgende Zahl/Schranke (in den nächsten vier Zeilen) ist in einem Stück zu lesen....

12484652512116647289012776984565670695983470176755331667957_
534237572860668143624595370352747877345669873531653192160749663_
848488541674002902854260589386145574531393747427166165654823015906_
5196413238268640890

Es sind 'nur' 207 Dezimalstellen. Die Zahl ist das Produkt der ersten 95 Primzahlen, kleiner 500. Gebräuchliche Bezeichnungen hierfür: primorial(500) oder primorial(95.), ganz nach Wunsch.
Für diese Untersuchung wurden herangezogen:

Das Programm Primzahlen oder die Magie der Zahlen (KK.exe) von Reinhold Kiebart... in der Version Beta 3.0.8-Professional,

Ergänzt durch ein kleines 'Aribas'-Programm.
Zu Aribas siehe... http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~forster

Die Kalkulation der zu erwartenden Primzahlen und Primzahlabstände erfolgte nach .../log(n) und der genannten Funktion rh(n).

Zu 1.) mit KK.EXE
Anschließend an die oben genannte Schranke wurde ein direkt folgendes Intervall von 10 Millionen Zahlen aufbereitet. Aufbereitet bedeutet, daß 10 Millionen Zahlen obiger Größe auf eine 'mögliche' Primalität zu prüfen waren. Dafür wurden alle die Zahlen 'gestrichen', die einen Teiler haben, der kleiner ist als 4.000.000.000 (4 Milliarden).. Es verblieben 259.729 mögliche Primzahlen, wir nannten sie 'Noch-Primzahlen 1".
Nun wurde ausgezählt, wie oft die Primzahlabstände a=2 (Primzahlzwillinge), a=4, a=6, a=8 und a=10 vorkamen... Zählung 1

Zu 2.) mit Aribas
Mit Aribas wurden die verbliebenen Noch-Primzahlen geprüft. Verwendet wurde der probabilistische Primzahltest nach Rabin. Es ergaben sich statt jenen 259.729 Noch-Primzahlen ganze 21.003 'primes' probabilistischer Prägung bei... Zählung 2..

Ergebnis zu Anzahl Primzahlen und Primzahlabständen in dem 10 Millionen Intervall:

	Primzahlen ==>	........ 259.729	20.980 21.003
Primzahl- abstand a	Rel. Häufigkeit rh(n)	Zählung 1 kalkuliert gezählt	Zählung 2 kalkuliert gezählt
2	1	8883* 8946	58** 58
4	1	8883 8797	58 59
6	2 / 1	17766 17765	116 105
8	1	8883 8893	58 64
10	4 / 3	11844 11817	77 76

* Mittelwert aus der Menge der Noch-Primzahlabstände
** Mittelwert der Primzahlabstände a=2 (Zwillinge) aus log. Berechnung.

Zur schnellen Orientierung:
Nach dem verborgenen Gesetz der Primzahlabstände sollte die grüne Zeile etwa die doppelten Mengen gegenüber der roten Zeile aufweisen !

Die gefundenen Werte überraschen nicht. Sie liegen genau so, wie es nach der Theorie zu erwarten war. Für jeden, der sich mit dem Thema ernstlich beschäftigt, wird die relative Anzahl von Primzahlabständen in jedem hohen und hinreichend großen Intervall zu einer gegebenen, bisher nicht beachteten Tatsache unserer wohlvertrauten Zahlenfolge.

Nachtrag im März 2010:
Inzwischen gelang es - ohne Beweisabsichten - auch bei 100.000 (einhunderttausend) Dezimalstellen eine gründliche Untersuchung durchzuführen. Selbstverständlich bestätigten sich wieder die gefundenen Tatsachen, ohne klassischen Beweis, aber mit hoher Konsequenz:

Es gilt das Gesetz der 'relativen Häufigkeit von Primzahlabständen'
in gleicher Weise wie das Streichen von Zahlen nach Eratosthenes
in unserem Zahlenraum, bis abzählbar unendlich.
Jeder gerade Primzahlabstand - auch a=2 , das sind Primzahlzwillinge -
tritt immer wieder in gleicher, relativer Häufigkeit auf - ohne jede Einschränkung.

Experimentelle Mathematik - Kurzbericht zu extrem hohen Zahlenbereichen

x Schranke    z.B. 10^(10^s)
10^(s) Stellenzahl s = 5 das sind 100.000 Dezimalstellen !!
Iv Intervall
mZA mittlerer Zwillings-Abstand
pi2 Anzahl Zwillinge im Intervall

Berechnung von Intervall    Iv ~= 4 * pi2 *10^(2*s)
... für pi2 = 250 ergibt sich    Iv ~=    10^(2*s+3)

  Eine Übersicht in heute zugänglichen Zahlenbereichen:

Schranke 10^(10^s)   Intervall Zwillinge    mittl.Zwill.Abst.
x = 10^(10^1) Iv = 10^5 : 250 =    mZA = 4*10^2
x = 10^(10^2) Iv = 10^7 : 250 =    mZA = 4*10^4
x = 10^(10^3) Iv = 10^9 : 250 =    mZA = 4*10^6
x = 10^(10^4) Iv = 10^11 : 250 =    mZA = 4*10^8
x = 10^(10^5) Iv = 10^13 : 250 =    mZA = 4*10^10
============================================================
x = 10^(10^6) Iv = 10^15 : 250 =    mZA = 4*10^12
x = 10^(10^7) Iv = 10^17 : 250 =    mZA = 4*10^14
------------------------------------------------------------
x = 10^(10^8) Iv = 10^19 : 250 =    mZA = 4*10^16
x = 10^(10^9) Iv = 10^21 : 250 =    mZA = 4*10^18
x = 10^(10^10)    Iv = 10^23 : 250 =    mZA = 4*10^20

Die blaue Zeile ist etwa der Bereich, in dem heute die höchsten Primzahlen gefunden werden.
Rote Zeile, 100.000 Dezimalstellen:
Wählt man hier ein Intervall von Iv=4*10^11=400.000.000.000, dann sind etwa 10 Zwillinge (a=2) zu erwarten und sie werden auch gefunden! Allerdings nur dann, wenn bis zur Wurzel von 10^(10^5) gesiebt wird. Wir wählen (unten) ein wesentlich kleineres Intervall, geeigneter Größe !!
Die neueste Version des Programms KK.exe gestattet ein direktes Auszählen von Primzahlabständen in sehr hohen Bereichen, ohne daß Pseudoprimzahlen nach Rabin oder ähnlich eingesetzt werden müssen. (Mit Rabin werden die Details bestätigt, jedoch entstehen extrem lange Laufzeiten.)
Durch ein gezieltes Siebverfahren (ähnlich Eratosthenes) werden exakte Noch-Primzahlen ermittelt und zwar abhängig von dem zum Einsatz kommenden Primärbereich. Letzterer ist frei wählbar, mit Primfaktoren bis 2 Milliarden und auch noch höher.
Führt man mehrere Berechnungen mit ansteigendem Primärbereich aus, kann man zeigen, daß

a =	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	mAZw
rh =	1	1	2/1	1	4/3	2/1	6/5	1	2/1	4/3	10/9	2/1	12/11	6/5	8/3	1	1
PB 10^6	422	456	828	443	626	865	523	436	868	570	463	884	486	509	1164	403	432
10^7	313	342	604	322	462	647	390	331	622	415	336	660	339	358	834	316	325
10^8	232	259	457	238	350	488	291	246	464	309	247	495	259	278	620	247	244
10^9	192	193	355	185	289	399	238	193	364	236	195	411	201	227	475	187	190

a =	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	mAZw
rh =	1	1	2/1	1	4/3	2/1	6/5	1	2/1	4/3	10/9	2/1	12/11	6/5	8/3	1	1
PB 10^6	98	106	96	103	109	100	101	101	101	99	107	102	103	98	101	93	100
10^7	96	105	93	99	107	100	100	102	96	96	93	102	96	92	96	97	100
10^8	95	106	94	98	108	100	99	101	95	95	91	101	97	95	95	101	100
10^9	101	102	93	97	114	105	104	102	96	93	92	108	97	100	94	98	100