Die 5 verschiedenen Collatz-Folgen

 
In der Literatur kennt man nur zwei verschieden lange Collatz-Folgen:
 Unter Die komprimierte Collatz-Folge wird gezeigt, daß über eine Rekursionsformel ausgesuchte Collatz-Punkte definiert werden können. Diese sind immer ungerade und werden als sogenannte Coll-Punkte bezeichnet. Die Folge wird benannt:
 Nun läßt sich eine weitere Reduktion der bereits komprimierten Folge einführen.
Am einfachsten: Das Multiplikationsglied  3^j wird durch  3^1 , also durch 3 ersetzt:
 Das nächste Bild zeigt fünf verschiedene Darstellungen der Folge   n=7777.
Als Demo zu beachten sind die gelb angezeigten Multiplikationen in der unteren Bildhälfte:
Einmal sind es versch. Potenzen von 3, dann durchweg nur der Faktor 3.
Die erzeugten Coll-Punkte bzw. Folgenwerte haben die Farbe magenta (lila).

Collatz Folgen

Hier endete die bisherige Seite mit den 4 verschiedenen Collatz-Folgen.
Es liegt auf der Hand, auch 3^j durch 3^0 = 1 zu ersetzen.
Alle Folgen basieren letztlich auf dem gleichen Prinzip:
Die ungeraden Primfaktoren von n+1 sind der Schlüssel zu Collatz und Co !
Ersetzt man den Collatz-Algorithmus nun total - statt 3*n nur n - erhält man eine vollkommen neue Basis:

... für    n    gerade        n' = n / 2
... für    n    ungerade    n' = (n+1) / 2^j

Etwas formatiert sieht die Sache interessant und durchaus Collatz_ähnlich aus.
Im nächsten Bild:   oben...  Bereich um    n = 1024           
                           unten... Bereich         n = 24  bis  5
Das auffallende 'Vierer-Treppenmuster' ■ ■ tritt an jedem Punkt der Zahlengeraden auf. Es ist nur abhängig von den vorhandenen 2er-Potenzen..

Absolute Collatz-Reduktion

Es fehlt eventuell die Mischung von n+1 und 3*n+1, der Collatz-Multiplikation.
Als DEMO - ohne jede Mathematik - ist das nächste Bild gedacht.!  Denn an jedem Ort auf der Zahlengeraden können beide Algorithmen einzeln oder wechselnd abgearbeitet werden. Es ist völlig gleichwertig ob eine Reihe hintereinander geschalteter Divisionen bei einer geraden Zahl n+1 oder bei 3n+1 vorgenommen wird. Immer wird die gesuchte EINS erreicht, jeweils auf anderem Weg.

Collatz - MIX
 
Abschließende Frage:      
Ist 3*n+1 ersetzbar durch y*n+1 ?   Ja - am einfachsten per Zufallsgenerator !!

Siehe dazu die Seite:  Extrem viele Dezimal-Folgen - einschließlich der Collatz-Folge
 
Die Dezimalbruchwerte von y liegen zwischen 1 bis etwas über 3 !!
Man stellt fest, daß '3*n+1' absolut kein Einzel- oder Sonderfall ist, höchstens insofern, daß Collatz genau diesen einen ganzzahligen Fall auswählte !!
Ohne besonderen Aufwand wurden die folgenden y Werte ermittelt, die alle Collatz-ähnliche Folgen liefern, alle ohne Schleifenbilung mit dem Ende bei EINS:
y = 1.164,  1.249...    2.077, 2.308, 2.355, 2.567, 2.878, 2.879, 2.925, 2.975, 2.998...
3.037, 3.044, 3.05, 3.086, 3.153, 3,176, 3.181, 3.237... und viele mehr.
Anzumerken ist: Das unganzzahlige Produkt y*n wird aufgerundet zur nächsten geraden Zahl.
Bei den Tests wurde schnell erkennbar:  
Eine beachtliche Anzahl der y-Werte führte zu Sonderfolgen mit Endlosschleifen....

Nächstes Bild:   oben...   Sonderfolgen   unten... Collatz-Folgen
Vergleichen Sie bitte z.B. die Folgenlängen von n=27 und n=43
(Ausgegeben wurden hier gezielt nur ungerade  Folgenglieder.)
 
Collatz- und Sonderfolgen

Es ist offensichtlich: Der Iterationsprozess - fast gleich dem Collatz-Algorithmus - führt auch hier, allerdings über andere Zahlen, zur EINS. Immer vorausgesetzt, die Primfaktoren der beteiligten Zahlen verderben nicht den Spaß durch entstehende Endlosschleifen.

y*n+1 Sonderfolgen, Dezimal-Folgen, Nachtrag 9.8.2011, siehe:
Extrem viele Dezimal-Folgen - einschließlich der Collatz-Folge