Extrem viele DezimaL-Folgen  - einschließlich der 'einen' Collatz-Folge


In dieser Homepage wurde bereits gezeigt, daß es eine ganze Reihe von Variationen zu der klassischen Collatz-Folge gibt. Die weiteren Untersuchungen führten zu einem verblüffenden Ergebnis, das eine spezielle Seite rechtfertigt, ja sogar verlangt!    Was ist zu tun?

Die Collatz-Multiplikation  3*n+1  wird ersetzt durch  y*n+1, wobei  y  ausgesuchte Dezimalzahlen sind, mit einer festgelegten Stellenzahl. Die y Werte liegen nahe (±) der Zahl 3.
(Der Bereich von y=1.000 bis 1.333 (=4/3) ist von besonderer Bedeutung. Siehe unten, letztes Bild.)
Die Möglichkeiten eines Compilers zur Auf- oder Abrundung von Zahlen sind vielfältig. Das kann man ausnutzen, um völlig unterschiedliche Dezimal-Folgen zu erzeugen. Zunächst werden zwei Arten von Folgen betrachtet, alternativ mit Auf- oder Abrundung, jede mit einem anderen Zahlenverlauf.
(Man könnte auch eine beliebige Rundungsgrenze wählen... für die letzte Stelle  2, 5 oder 7...)
Jede dieser Vorgaben erschließt ungezählte, neue Dezimal-Folgen, deren Verlauf exakt der Collatz-Vermutung entspricht: Sie sind 'fallweise schleifenfrei', je nach gewähltem y. Man muß erkennen, auch die klassische Collatz-Folge 3n+1 (...Aufrundung) ist nur 'fallweise schleifenfrei', gegenüber der Folge 3n-1, was einer Abrundung entspricht. Der einzige Unterschied zwischen Collatz und den Dezimal-Folgen y*n(±1) ist:
Die  Glieder der Y-Folgen herab bis zu 1 sind ungleich den gewohnten Collatz-Zahlen.
Man wird die Sache natürlich per Rechner angehen, insbesondere um eine exakte Rundung der Dezimalstellen zu sichern. Eventuell sortiert man einmalig jene y Werte aus, die zu einer Schleifenbildung führen. Besser: Man fährt 'online' und unterdrückt die kritischen y Werte, die zu Schleifen führen.

Als Demonstration dient das nächste Bild, mit AUF-Rundung, türkis markiert.
Achtung: Hier werden nur die ungeraden Folgenglieder (als Kurznotation) ausgegeben !
Es wurden  dreistellige y Werte gewählt, die primfallbedingt keine Schleifenbildung erzeugen...
y=3.190 bis 3.200. Für jede beliebige Startzahl findet man interessante Folgenlängen.
Sie sind zum Teil gleich lang und führen über jeweils andere Glieder zu EINS  !!
Es bedeuten bei ikm ...     
i Anzahl Glieder der Normalfolge       m Anzahl Multiplikationen    
k Anzahl Glieder der gekürzten Folge = Anzahl der Divisionen (hier nicht dargestellt)

Collatz ähnliche Folgen mit anderen Werten
  
Wie sehen dagegen direkt benachbarte  y-Dezimal-Folgen  zu kleinen Startzahlen aus?
Wir wählen dazu 3-stellige Dezimalzahlen y nahe 3     Bereich...   y=3.000 ±0.005
Das verwendete Programm liefert:   11 verschiedene, sehr ähnliche Folgen für n = 27.
Sie sind verschieden lang, schleifenfrei und enden alle bei EINS.
Dreimal treten die Originalwerte von Collatz auf, bei  y=2.999, y=3.000 und y=3.003
Die Ergebnisse sind abhängig von den Primfaktoren der durchlaufenen Zahlen, genau so, wie es für die  Original-Collatzfolge mit 3*n+1 in dieser Homepage angegeben wurde.  Zur Erinnerung:
/ Der Folgenverlauf für jede (ungerade) Zahl n wird bestimmt durch die Primfaktoren von n+1. /
Dazu nächstes Bild:

rund um 3.0000

Den Unterschied zwischen y=3.000 und y=2.984 bei n=27 kann man gut erkennen.
Nur die ersten 5 ungeraden Folgenwerte 27,41,31,47,71 sind gleich:
Unterschied y=3.000 zu 2.984
Ohne Benutzung des Wortes 'Beweis' wird damit gezeigt, daß der Collatz-Algorithmus als eine primfallbedingte Zufälligkeit, innerhalb von Folgen der Art y*n(+1), anzusehen ist.
• Die Primfaktoren von y*n±1 sind für den Folgenverlauf entscheidend... = 'primfallbedingt' !!
   Wie bei Collatz bestimmen diese geraden / ungeraden Primfaktoren das nächste Folgenglied.
• Collatz... 3n+1 ist schleifenfrei           • 3n-1  (...entspricht einer Abrundung) dagegen nicht!!
Wichtig:  Sollten Sie versuchen, die gezeigten Folgen mit einem eigenen Programm zu erzeugen, könnten Sie eventuell andere Glieder zwischen n und 1 erhalten. Das ist absolut  kein Fehler, sondern nur eine Bestätigung der geschilderten Situation. Im Gegenteil:
Welche Art der Zahlenrundung auch verwendet wird, das Ende bei 1 ist davon unabhängig, es ist immer gesichert - geprüfte Schleifenfreiheit vorausgesetzt.
 
Damit verändert sich das gesamte Bild der Collatz-Vermutung mit dem Folgenende bei EINS !!
Wählt man Startzahlen in hohen Bereichen - mit mehreren Dezimalstellen für den Wert y - findet man  extrem viele Dezimal-Folgen. Sie sind sehr ähnlich und doch vollkommen verschieden zu Collatz.
Die 'primfallbedingte' 3n+1 Folge hat das Alleinstellungsmerkmal verloren. Sie ist eine schleifenfreie Folge von sehr vielen, die alle bei EINS enden.
Bisher wurde nur diese eine Lösung - nach Lothar Collatz - tausendfach untersucht.

Ein direkter Beweis zu der einen Collatz-Folge kann mit den neuen Erkenntnissen nicht geführt werden. Jedoch: Es läßt sich an Hand extrem vieler nun vorliegender Y-Folgen zeigen:
 Frage:  Was bewirkt eigentlich das gebrochene y<>3 ?  
Durch die spezielle Multiplikation [y*n(±1)] wählt man auf der Zahlengeraden einen etwas höheren oder niedrigeren Einstiegspunkt für die nächste 2er-Divisionen... höher oder niedriger gegenüber Collatz mit y=3. - Im weiteren Verlauf zeigt sich, ob 'primfallbedingt' eine schleifenfreie Folge entsteht. Die Sache ist beschämend einfach und doch korrekt und gleichwertig zu Collatz. Vermutlich wird man das y-Konstrukt ablehnen, langfristig jedoch ohne Erfolg.

Alle bisherigen Aussagen zu Collatz 3n+1 gelten prinzipiell auch für y-Folgen, z.B.:
 Nochmal und NEU:  
Die bisher vorgestellten Fakten sind auf die neuen ungezählten y-Dezimal-Folgen übertragbar.
Man kommt zu dem Schluss: Es sind unendlich viele Y-Folgen möglich... bei 'unendlich' vielen Dezimalstellen in extrem hohen Bereichen.
Es ist interessant und es ist noch genügend zu tun. Ich freue mich über jede Mitarbeit.
   
Hier eine Eingabe für n von 12x der Ziffer 7. Selbsterklärend öffnet sich eine Vorschau in beliebig hohe Bereiche...  immer herunterführend zur konstanten EINS.
y=2.89834  aufsteigend (letzte Stelle)            n=777777777777  konstant (12 Stellen) 
 
7777... und hohe y-Werte
   
17.8.2011   •   Programmtechnisch ist noch mehr zu erwarten. Bitte verfolgen Sie diese Seite.

 11.11.11     •   Kein Faschingscherz, sondern ein Programm zu den neuen Y-Dezimalfolgen
                     Download:   Collatz-w.zip    ( bitte gelegentlich erneuern, wird noch erweitert )
Das Programm gestattet ein Studium verschiedener y-Werte.      Welche sind schleifenfrei ?
Zum Einstieg genügen die Steuertasten    W, S oder YY, XX ,  siehe die dortigen Tipps.

DEMO zu 'aufgerundet', erstellt mit  Collatz-w.exe:      
Wählt man nur eine Dezimalstelle, hat man bereits 7 Alternativen zu y=3.0,  n=27 .
y mit 1 Dezimalstelle

Bei zwei Stellen ist die Auswahl weit größer, gültig für jedes beliebige n (hier n=1001)
y mit 2 Dezimalstellen

Nicht berücksichtigt ist im letzten Bild der Sonderfall der 2x 33 Folgen von y=1.00 bis y=1.33 (4/3).
Es sind 66 Folgen, da genau dort - und nur dort - auch die 'abgerundeten' Werte schleifenfrei sind.
Mit ein wenig Knobelei erkennen Sie den Hintergrund!

Das nächste Bild zeigt daher an wenigen Folgen jeweils in zwei Zeilen die auf- und abgerundeten Werte für ein n.  Total wären es 666 verschiedene Y-Folgen , jede für unendlich viele n. Alle Folgen sind schleifenfrei, exakt nach der Collatz-Vermutung mit dem zwingenden Ende bei EINS.
Der Grund für dieses spezielle Verhalten ist sehr einfach:
Für alle y=1 bis y<=1.333 (4/3) ist jedes ungerade Folgenglied n' kleiner als sein Vorgänger n.
Das gilt für jede Auf- oder Abrundung, eine Schleifenbildung kann hier nicht entstehen.
 
Spezial zweizeilig
Viel Vergnügen bei der neuen Sicht auf die alte, entkleidete  Collatz-Vermutung mit y=3 !!