Das Chaos, das unregelmäßige Auftreten von Primzahlen, andererseits die symmetrische Lage von Primzahlzwillingen oder Vierlingen, die Größe der Primzahllücken ....
Kann man das sichtbar machen, vielleicht grafisch darstellen?

Man kann es! Wählen Sie bei meinem Programm primes.exe nacheinander z.B. die beiden "Grafiken", die Seite 0 und dann die Seite 999. Diese tausendste Seite ist erkennbar "dunkler" als die erste. Sie weist weniger Primzahlen aus. Im Schnitt haben die Pixel an Helligkeit verloren. Denn, ein Pixel ist schwarz, wenn ihm keine Primzahl zugeordnet ist. Dagegen hat ein Pixel, das in der Grafik vier Primzahlen vertritt, den Farbwert weiß.

Auf beiden Seiten wurde mit der Funktion Code-Suche ein Primzahl-Vierling gewählt. Dieser wird ausgewiesen durch das kleine, hellrote Rechteck in der Mitte (2 Pixel = 30er Zahlenblock). Beachten Sie also bitte das dunklere Umfeld auf Seite 999 gegenüber Seite 0!
Im oberen Bild fällt ferner auf, daß auch die beiden Pixel rechts neben dem kleinen, zentrierten Rechteck die gleiche, hellrote Farbe haben. Sie signalisieren einen weiteren Vierling, unmittelber im nächsten 30er Zahlenblock. Nennen wir diese Kombination einen "Doppelvierling". Ich füge hier eine ganze Latte dieser Doppel-Vierer (Mittenzahlen) mit ihren Primfaktoren ein. Und was fällt bei diesen Faktoren auf? Platt selbstverständlich:  Kein Faktor  11, 13, 17, 19   !!!

Es stellen sich Fragen:
Können Vierlinge beliebig eng aufeinander folgen? Statt 2 mal (wie oben) auch 3 oder 4 mal?
Oder kann zwischen 2 Vierlingen genau ein 30er Zahlenblock liegen?

Die Antwort gibt die Primzahl 7
Die nächste Grafik zeigt einen Abschnitt von 210 Zahlen, dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 7 und 30. Es ist ein aufbereitetes Sieb des ehrenwerten Eratosthenes. Man erkennt rasch, daß 2 Primzahl-Vierlinge, wenn sie existieren, entweder unmittelbar aufeinanderfolgen müssen oder, daß sie mindest um den Wert 90 versetzt sein müssen, also zwei 30er Blöcke dazwischen liegen.

Sieht man sich die Abstände der ersten Primzahl-Vierlinge an, dann findet man die 90 bezw. 30 mit Primfaktoren wieder:

Gibt es in dem unendlichen Chaos der Primzahlverteilung örtliche Symmetrien?

Der oben besprochene Doppelvierling ist schon eine schöne Symmetrie in einem Feld von 2x30 Zahlen. Noch breiter ist die Spiegelung um die Zahl 20685844620. Die nächste Zeile liefert die maßstäbliche Notation der ganzen Folge, darunter die 10 Primzahlen (mit 2 Vierlingen):

Es sind somit 165 teilbare und prime Zahlen angeordnet, beginnend bei 20685844538 und endend bei 20685844702. Alles fein symmetrisch aufgebaut um dieZahl 20685844620, die mod 30 den Wert 0 liefert.

Zur Erinnerung, die Mitte eines Primzahlvierlings ergibt mod 30 immer 15. Mit so einer Mittenzahl geht es weiter. Wählen wir als Punkt einer neuen Symmetrie die Zahl 2.614.941.710.925 (mod 30 = 15). Die absolut zufällige Überraschung ist perfekt. Nach oben und unten je 331 symmetrisch verteilte prime bezw. teilbare Zahlen! Aber prim sind nur zwei am äußersten Rand der Symmetrie, der große Rest ist teilbar. Und so sieht es aus:

Diese große Lücke findet man in der Literatur. Daß sie auch noch symmetrisch zu einer Zahl mit mod 30 = 15 (Vierlingsmitte) liegt, ergaben meine völlig nutzlosen, aber spannenden Untersuchungen symmetrisch verteilter Primzahlen.

Primzahl-Achtling = Primzahl-Zwilling + Primzahl-Vierling + Primzahl-Zwilling

Achtling? Vermutlich nie gehört! Aber auch diese seltenen Primzahlgruppierungen gibt es. Man findet die beiden benachbarten Zwillinge eines Vierlings symmetrisch angeordnet mit den Mittenabständen ± 15.
Vierlings-Mittenzahlen:  663585, 10187925 , 11495595, 18873525, 93956115, 180929715  -  Dazu die Notation:

Auch diese seltenen Vögel findet man mit primes.exe .....

Primzahl-Sechslinge, seltene Stücke in hohen Gefilden

Von meinem Zahlenfreund Herbert S. aus Stuttgart erhielt ich ein Prachtstück, gefunden mit einem Fermatprogramm. Die nachträgliche Kontrolle durch eine versuchte Faktorenzerlegung bestätigte nur die sechs lupenreinen, symmetrisch angeordneten Primzahlen mit 19 Stellen:

Angeregt durch diesen Sechser sandte mir mein Partner M. aus K. ein zweites Muster dieser seltenen Art:

Beide Exemlare sind eine genaueWiederholung von 7---11-13---17-19---23 , nur einige Schuhnummern größer!

Wohlgemerkt: Alle Symmetrien sind purer Zufall und nur purer Spaß an der Freude !
 

Jeder, der erstmals mit Primzahlen in engeren Kontakt kommt, wird versuchen Ordnung in diese Wüstenei zu bringen. Es müßte doch eine Formel geben, der diese wundersamen Zahlen gehorchen. Viele versuchten es vergeblich. Vor über 200 Jahren entstand

das für x = 0 bis 39 durchweg Primzahlen liefert, 40 an der Zahl. Ist hier doch ein Gesetz verborgen? Mich beschäftigte die Sache vor vielen Jahren und ich kam zu der festen Überzeugung: Purer Zufall.
Zu jeder Zahl n gibt es ein n². Wählt man für eine Folge als Anfangsglied n und erhöht von Glied zu Glied um die ansteigenden Differenzen 2,4,6,8,10..., wird man mit dem n-ten Glied das Quadrat des Anfangsgliedes, also n² erhalten. Spätestens dieses Endglied der Folge kann somit keine Primzahl sein. Und die vorherigen n-1 Glieder? Es ist purer Zufall ob alle Glieder einer solchen Folge ungerader Zahlen - beginnend mit einer Primzahl - auch tatsächlich Primzahlen sind.

Einige Folgen als Beispiele (rot = prim):

5 7 11 17 25=5²
7 9 13 19 27 37 49=7²
11 13 17 23 31 41 53 67 83 101 121=11²
13 15 19 25 33 43 55 69 85 103 123 145 169=13²
17 19 23 29 37 47 59 73 89 107 127 149 173 199 227 257 289=17²
.....
und Eulers Entdeckung:
41 43 47 53 61 71 83 97 113 131 151 173 197 223 251 281 313 347 383 421 461 503 547 593 641 691 743 797 853 911 971 1033 1097 1163 1231 1301 1373 1447 1523 1601

Nur für die Primzahlen n = 5, 11, 17, 41 sind alle n-1 Zahlen der jeweiligen Folge prim. Dies bestätigt einmal mehr, daß Primzahlen keiner allgemeinen "Formel" gehorchen!

Fibonacci-Vierling in einer Folge

Nein, diesen Vierling gibt es nicht, nicht in der Literatur. Aber man müßte bestimmte Folgen von Primzahlen so benennen. - Unsere nächste prime Jahreszahl ist 2003. Zu dieser Primzahl - wie zu vielen anderen - gibt es viele Startzahlen für Fibonacci-Folgen, die mit einem "Vierling" meiner Prägung beginnen. Die kleinste Startzahl ist 236. Man erhält:

236 + 2003 2239 4242 6481 10723 .... =  4 Primzahlen.

Andere Startzahlen für 2003, die rein zufällig ebenfalls Primzahlen liefern: 284, 386, 854, .....

Eine Perle unter den Folgen:   Die "Perrin"-Folge ... Primzahltest und "Aribas"

Das Thema wollte ich hier abhandeln. Es ist aber so mächtig, daß eine eigene Seite entstand:   Perrin / Aribas