Mit dem Primzahl-Speicher-Programm  primes.exe  findet man aber auch:
 

"Trimzahl" das ist kein Tippfehler. Trimzahl ist meine eigene Wortschöpfung, ist ein Kunstwort aus Tripel und prim. Trimzahlen sind eine Untermenge der Primzahlen. Sie sind durch die Summe zweier Quadrate darstellbar und gehören dadurch immer zu einem Pythagoreischen Zahlentripel der Art a²+b²=c². Trimzahlen sind das c in dieser Gleichung.

Die neue Version von primes.exe (Download) liefert Trimzahlen ganz nebenbei! In der dortigen Zahlenausgabe werden Primzahlen rot ausgewiesen. Ein angefügter weißer Pfeil < bedeutet: Trimzahl!
Fahren Sie mit der Maus über ein Pixel der Primzahl-Grafik wird bei bestimmten Primzahlen der Pfeil eingeblendet, z.B.:

Dabei wird hierfür keine spezielle Berechnung notwendig. Allein aus der Modulo-Speicherung und dem Wert 1 für mod 4 kann man diesen Schluß ziehen. Nebenbei und doch wichtig: Produkte aus Trimzahlen liefern wieder eine Zahl, die durch 2 Quadrate darstellbar ist, also das c des Pythagoras! Das kleinste Produkt ist 65=5*13! .... Doch wozu das alles, da doch schon die

anzuschreiben wußten? Bereits die Gelehrten dieser Zeit ergänzten die Tripelwerte a,b,c durch zwei andere Werte etwa m und n. Das sah dann wohl so aus:

Ein alter Hut, sollte man denken, aber einer, dem man immer wieder etwas abgewinnen kann. Sehen Sie sich z.B. die nächsten Zahlenwerte an. Man findet das Tripel jeder neuen Zeile aus der vorherigen Gleichung....

Eine kleine Hilfe, falls der erste Blick nicht gleich das Resultat liefert:  336=2*7*24,   527=24²-7²   und  390625=625²

Es gibt die unterschiedlichsten Möglichkeiten, ohne und mit Computer. Meist werden die obigen Gleichungen benützt. Man kann gerade oder ungerade Katheten vorgeben, natürlich auch die Hypotenuse, dann aber bitte gleich eine Trimzahl wählen, um sofort fündig zu werden.
Ich möchte Ihnen hier eine völlig andere Methode zeigen (Anregung dazu in "bild der Wissenschaft 9-1984" nach Hans-Jürgen Düsing). Die Bearbeitung von PT auf diese Weise hat entscheidende Vorteile:

Die 3 Folgen habe ich willkürlich A, S und D genannt, da diese 3 Tasten schon auf dem ersten Taschenrechner nebeneinander angeordnet waren. Es soll hier bei ASD bleiben. So entstanden meine Namen der Tripel. Ein Beispiel vorweg: Werden nacheinander die Folgen D, A, S, S eingesetzt, nenne ich das Tripel "DASS". Dieser String dient zur Kennung und kann abgespeichert werden.

Doch langsam, zunächst müssen die feststehenden Rekursionsformeln der drei verschiedenen Folgen benannt werden.
Hier ist zu beachten, daß die Tripel immer so geschrieben (sortiert) werden, daß a<b ist!

Baumstruktur ausgehend vom Urtripel 3-4-5

Geht man von der 3-4-5 Basis aus und setzt die 3 Folgen parallel nebeneinander, ergeben sich im nächsten Glied (hier Zeile) folglich 3 neue Tripel. In den weiteren Zeilen sind es 3², 3³.... Tripel usw. Der ganze Zahlenbereich wird mit der 3. Potenz erschlossen. Das obige Beispiel "DASS" mit 4 Zeichen würde somit eines der 81 Tripel in der 4. Zeile (3^4=81) sein.
Hier folgt nun der Versuch, diese "Ahnentafel" aller Tripel mit den einfachen Mitteln des Textsystems darzustellen:

____________________________________________________3²+4²=5²__________________________________________________
________________A_____________________________________S____________________________________D________________
____________5²+12²=13²_____________________________20²+21²=29²____________________________8²+15²=17²____________
____A__________S___________D_____||______A____________S____________D_____||______A___________S___________D___
7²+24²=25²__48²+55²=73²__28²+45²=53²_||_36²+77²=85²__119²+120²=169²__39²+80²=89²_||_12²+35²=37²__65²+72²=97²__33²+56²=65²

Als Demonstration folgt ein zufälliges Beispiel. Bei der Notation wird auf alle Operatoren verzichtet:

Interessante Konvergenzen der Folgen A, S, D

ergeben sich, wenn man eine der 3 Folgen oft hintereinander am Ende einer Tripelbildung einsetzt, etwa ADASSSSSSSSSSSS. Verwendet man die Folgen absolut "solo", beginnend bei 3-4-5, erhält  man:

A liefert Tripel, in denen auch gilt a²=b+c und c-b=1.  a/c geht langsam gegen 0 :
3-4-5    5-12-13    7-24-25    9-40-41    11-60-61    13-84-85    .....
(Der kleinere Winkel des pythagoreischen Dreieckes geht gegen 0.)
S beschert den Sonderfall b-a=1 und 2*c/(a+b) konvergiert gegen Wurzel(2):
3-4-5    20-21-29    119-120-169    696-697-985    4059-4060-5741    23660-23661-33461    .....
(Winkel geht gegen 45°.)
D ergibt c=(2*a±1) und b/a konvergiert gegen Wurzel(3) :
3-4-5    8-15-17    33-56-65    120-209-241    451-780-901    1680-2911-3361    .....
(Winkel geht gegen 30°.)

Die Konvergenzen von S und D kann man benutzen, um die Wurzel aus 2 oder 3 auf beliebeig viele Stellen zu ziehen. Es ergibt die Folge D, 100x angewandt:

_____(1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678)
____a=3634951311162869141578228859040099134466833993588133370051
____b=6295920353973196869104343998930178739565553301865652109260
____c=7269902622325738283156457718080198268933667987176266740101
b/a=1.732050807568877293527446341505872366942805253810380628056=Wurzel(3)

Anzumerken ist, daß dieses Tripel der Zeile 100 eines von sehr vielen ist. In dieser Zeile stehen 3^100 Tripel, das ist eine Zahl mit 48 Stellen.....

Grafik zu Tripel-Folgen
finden Sie auf einer besonderen Seite dazu eine zweite Berechnungsmethode der beschriebenen ASD-Folgen !