Grafik zu der Funktion:  'Relative Häufigkeit von Primzahlabständen'     


Zur Ableitung der Funktion 'Relative Häufigkeit von Primzahlabständen' wurde das einfache Auszählen des mit mod 30 'parkettierten Zahlenstrahles' erläutert. Man kann es nachvollziehen. Der Schluß auf die allgemeine Gültigkeit fällt jedoch leichter, wenn man sich die Verteilung der Primzahlen - oder besser ihrer Abstände - an einer einfachen Grafik ansieht. Diese ist bewußt auf mod 30 beschränkt, denn es geht hier nur um das Prinzip. Höhere Faktoren machen das Bild nur schwerer verständlich, dazu benutzt man besser den Rechner.
So möchte ich nochmal jene 'aufgewickelte Zahlengerade' vorstellen.  Die Zahlengerade wird in einer Art Gewinde oder "Wendel" um einen Zylinder mit einer ganz bestimmten Steigung herumgelegt. Die Blickrichtung ist in Richtung der Achse dieses Zylinders, geschnitten an beliebiger Stelle.
Der Umfang (Länge einer Steigung) soll hier s=150=5*30 betragen. Die weißen und roten Primzahlplätze am Kreisumfang der Projektion sind jene, die nach der Eratosthenes-Streichung mit 2, 3 und 5 übrig geblieben sind. Mod 30 haben die darauf liegenden Primzahlen die Reste 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23 und 29. Zwillinge: rot, restliche Primzahlen: weiß....

Zur Erinnerung... Die Funktion der relativen Häufigkeit der Primzahlabstände lautet:

rh(n) ~ M0 * (f1-1)/(f1-2) * (f2-1)/(f2-2) *..... (fk-1)/(fk-2)
M0  Grundmenge  ( = Menge der Primzahlzwillinge, auch pi.a2 )
f_  ungerade Primfaktoren des Primzahlabstandes

Zahlengerade, Spirale 150

Das Bild ist durch den enthaltenen Text fast selbsterklärend. Nur die beiden letzten Sätze sollten ergänzt werden. Stellt man sich die Wendel durchsichtig vor, dann erscheinen alle Primzahlplätze besetzt, selbst dann, wenn ein betrachtetes, 'tatsächliches' Intervall beliebige Primzahllücken aufweist. Oder, man stelle sich vor, der Schnitt zeigt alle möglichen Primzahlplätze die nach der Eratosthenes-Streichung (2,3,5) übrig geblieben sind..., siehe oben.  
In dieser Darstellung modulo 150 (=5*30) ist die 'gegebene' Anzahl der Zwillinge 15 (=5*3). Dieser Wert ist hier - und nur hier - jene Grundmenge M0 für alle anderen Abstände, die die Primfaktoren 2, 3, 5 besitzen.

Anmerkung: Statt 5*30 hätte auch jedes andere Vielfache von 30 verwendet werden können, auch 7*30, obwohl das eventuell zu Fehlschlüßen verleiten könnte, da 7 die nächstfolgende Primzahl ist. Primzahlen gleich oder größer 7 sind hier nicht berücksichtigt.

Generell siehe:   Konzentrat:  "Relative Häufigkeit von Primzahlabständen"