Primzahlabstände, Funktion Relative Häufigkeit

Der originale Buchtitel lautet: Musik der Primzahlen
'Auf den Spuren des größten Rätsels der Mathematik' von Marcus du Sautoy 2003

Bitte keine falsche Annahme und keine Sorge um mein Wohlbefinden oder um meinen Verstand. Ich maße mir nicht an, bei der Riemannschen Vermutung ernstlich mitsprechen zu wollen. Es drängt sich lediglich eine parallele Betrachtung auf, die ich hier aufzeigen möchte. Es ist ein Zusammenhang, den man nicht abweisen kann, zumindest dann nicht, wenn man den Spuren des ausgezeichneten Buchtitels nachgeht.

1900 hielt David Hilbert 'seine' Rede in Paris. Sie enthielt eine Reihe mathematischer Probleme.
In Erinnerung blieb vor allem seine Auffordrung zum Nachweis der 'Riemannschen Vermutung'.

1923 stellten Hardy und Littlewood eine Behauptung auf, die die Anzahl der Primzahlabstände unterhalb von x betrifft. Bei P. Ribenboim findet sich dazu ein Hinweis, aber keine Vertiefung.
(... Paulo Ribenboim, The New Book of Prime Number Records)

2004 fand ich - ohne Wissen um die Vermutung von 1923 - Erkenntnisse zu dem Thema:
'Relative Häufigkeit von Primzahlabständen' in hinreichend großen Intervallen.

Zunächst zu: Musik der Primzahlen
Die Interpretation der Riemannschen Vermutung liest sich - gekonnt vereinfacht - etwa so:
( Siehe Dr. J. Resag ... http://www.joergresag.privat.t-online.de/mybk3htm/chap52.htm )

"Riemann gelang es mit Hilfe der komplexen Zahlen, die Verteilung der Primzahlen in eine mathematische Landschaft über einer zweidimensionalen Ebene zu übersetzen (die sogenannte Zeta-Funktion). Die Topographie dieser Landschaft enthält dabei das gesamte Wissen über die Primzahlen. Insbesondere genügt es, die Punkte auf Meereshöhe (die Nullstellen) zu kennen, um die gesamte Landschaft rekonstruieren zu können. Daher enthalten die Nullstellen alle Informationen über die Verteilung der Primzahlen. Riemann entwickelte eine konkrete Formel, um aus den Nullstellen die Verteilung der Primzahlen zurückzugewinnen. Dabei wirkt jede Nullstelle wie die Quelle für eine sich ausbreitende Welle, die man sich wie einen akustischen Ton vorstellen kann. Die Töne aller Nullstellen überlagern sich zur Verteilung der Primzahlen. Dabei ist eine Nullstelle umso lauter, je weiter östlich (rechts von der y-Achse) sie liegt, und ihr Ton ist umso höher, je weiter nördlich (oberhalb der x-Achse) sie liegt.

Zu seiner Überaschung fand Riemann, dass alle von ihm berechneten Nullstellen gleich laut sind, und dass die Tonleiter der beitragenden Töne bis zu beliebig hohen Tönen weitergeht. Die (unendlich vielen) Punkte auf Meereshöhe (die eine Lautstärke größer als Null besitzen) liegen scheinbar alle auf einer Geraden parallel zur y-Achse, die rechts neben der y-Achse in einem Abstand von 1/2 zu dieser Achse verläuft. Es gibt nur ein Problem: Weder Riemann noch sonst irgend jemand konnte dies bis heute beweisen! Man spricht daher von der Riemannschen Vermutung."

Ebenso wenig bewiesen ist die 'Relative Häufigkeit der Primzahlabstände'.
Die Musik ist die gleiche. Sie muß die gleiche sein, denn die Noten, die Primzahlen sind die gleichen. Nur eines ist anders: Das Instrument für diese Musik, das Zählen, ist leichter zu spielen als die Instrumente der komplexen Zahlen.

Auf Meereshöhe vernehmen wir eine Musik, ein gleich lautes, abgestimmtes Rauschen, gleichgültig wo wir uns befinden, nahe der Küste oder weit draußen im offenen Meer der Zahlen. Das konstante Rauschen entsteht durch das konstante Verhältnis der Mengen der verschiedenen Primzahlabstände untereinander.
Alle Primzahlabstände der ungeraden Primzahlen sind gerade. Sie haben also mindestens einmal den Primfaktor 2. Jeder weitere ungerade Primfaktor eines Abstandes (mit beliebiger Potenz) bewirkt, daß dieser Abstand öfter anzutreffen ist als Primzahlzwillinge, entsprechend dem konstanten (Rausch-) Faktor aller aufeinander abgestimmten Primzahlabstände. Diese relative Häufigkeit der Primzahlabstände gilt im gesamten Zahlenraum bis 'abzählbar unendlich'.

In anderer Formulierung:
In jedem hinreichend großen Zahlenintervall stehen einer beliebigen Anzahl von Primzahlzwillingen (a=2) etwa doppelt soviel Abstände mit a=6 (=2*3) gegenüber. Sinngemäß gilt das für Abstände mit anderen Primfaktoren >3, und es ist gleichgültig wo ein Intervall liegt, wie weit es vom 'Ufer' entfernt ist. Daß im offenen Meer immer größere Abstände zwischen den Primzahlen anzutreffen sind, das ist hinlänglich bekannt und bewiesen. Nicht bewiesen ist das gleichmäßige Rauschen des Meeres, die Konstanz von

' Relative Häufigkeit der Primzahlabstände '.

Es wäre zu wünschen, daß Mathematiker einen Bruchteil der Energie, die für die Riemannsche Behauptung aufgewendet wurde, für die 'relative Häufigkeit der Primzahlabstände' einsetzen würden.

Einen Text von einer anderen Stelle meiner Homepage muß ich hier wiederholen:

Gelegentlich wird (wurde!) - selbst von hochkarätigen Mathematikern - angezweifelt , daß es in den höchsten Bereichen noch zur Bildung von Primzahlzwillingen kommt. Als Grund wird immer wieder angeführt:

Der Abstand zwischen Primzahlen kann beliebig groß werden.

Das ist korrekt, allerdings mit einer falschen Schlußfolgerung! Ganz im Gegenteil:
In jenen hohen Bereichen sind selbst die mittleren Primzahlabstände extrem groß. Und nur durch Bildung von 'beliebig großen' Abständen existieren an anderen Orten des Zahlenstrahles dichtere, nicht gestrichene Primzahlfolgen.... in konsequenter Weise, nach dem gegebenen Gesetz der 'relativen Häufigkeit' von Primzahlabständen:

Die höchste Dichte ist dann ein restlicher Primzahlzwilling - oder auch mehrere.

Wobei es sich nicht um eine 'nachträgliche Verdichtung' handelt. Diese Zwilllingdichte ist vor dem Streichen nach Eratosthenes an jeder Stelle des unendlichen Zahlenstrahles vorgegeben. Man sollte annehmen, daß dazu auch jene Mathematiker Zugang finden, die ablehnen, was mit gängigen Methoden nicht beweisbar erschien.
Sehen Sie dazu auch: Konzentrat: "Relative Häufigkeit von Primzahlabständen"

Nachtrag in 2010 zu Ehren von Hardy und Littlewood - zu der Vermutung anno 1923

Ein Rauschen des Meeres der Primzahlen kann man vorteilhaft demonstrieren,
wenn man ausgezählte und berechnete Werte der Primzahlabstände gegenüberstellt.

Hier werden dazu Primzahlabstände a=2 bis a=32 und zwar in
6 Zahlenbereichen, jeweils von 1 bis max. 10^9 untersucht.

    In der Tabelle ist der unterste, rote Teil - insbesondere die letzten Zeilen - zu beachten:
    Es sind äußerst geringe Abweichungen 'gezählt zu berechnet' in % zum normierten Wert 100 !!
    Gäbe es keine statistische Streuung, wäre der Wert in jedem der Felder gleich NULL.

Zur Auszählung benutztes Programm ... KK.exe siehe
Primzahlen oder die Magie der Zahlen ... http://euroware.de von Reinhold Kiebart

Rel.H._rh(n)	1	1	2	1	4/3	2	6/5	1	2	4/3	10/9	2	12/11	6/5	8/3	1
PZ_Abstand:	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32
Bereich bis:	Exakt gezählte PZ-Abstände in 6 Bereichen von 1 bis 10^9 ( 1 Milliarde):
10 ^4	205	203	411	208	270	404	245	200	417	269	226	404	240	248	536	196
10^5	1224	1216	2447	1260	1624	2421	1488	1233	2477	1645	1351	2475	1348	1468	3329	1204
10^6	8169	8144	16386	8242	10934	16378	9878	8210	16451	10972	9171	16343	8928	9784	21990	8196
10^7	58980	58622	117207	58595	78211	117486	70463	58606	117463	78218	65320	117342	64203	70440	156517	58565
10^8	440312	440258	879908	439908	586811	880196	528095	441055	880444	586267	489085	880927	480567	528313	1173934	439524
10^9	3424506	3424680	6849047	3426124	4567691	6847940	4108774	3426914	6849306	4564935	3805634	6851136	3734935	4109402	9136632	3424153
	Gezählte PZ-Abstände, reduziert um die relative Häufigkeit rh(n) und normiert auf 100% :
10^4	101,28459	100,29644	101,53162	102,7668	100,04941	99,80237	100,87286	98,81423	103,01383	99,67885	100,49407	99,80237	108,69565	102,10804	99,3083	96,83794
10^5	99,73924	99,08735	99,6985	102,67275	99,25033	98,63918	101,04302	100,47262	100,9208	100,53374	99,0792	100,83931	100,68992	99,68492	101,72547	98,10952
10^6	99,7168	99,41164	100,00977	100,6079	100,10132	99,96094	100,48176	100,21728	100,40648	100,44921	100,75316	99,74732	99,8999	99,52557	100,65977	100,04639
10^7	100,52221	99,91206	99,88053	99,86604	99,97384	100,11828	100,07766	99,88479	100,09868	99,98279	100,19498	99,99557	100,30533	100,04499	100,03456	99,81491
10^8	100,02285	100,01059	99,94153	99,93108	99,97657	99,97424	99,96996	100,19164	100,00241	99,88389	99,99207	100,05727	100,07005	100,01123	100,00315	99,84385
10^9	99,97754	99,98262	99,97805	100,02477	100,01439	99,96189	99,96213	100,04784	99,98183	99,95404	99,99402	100,00854	99,95373	99,97741	100,02807	99,96723
Gezählte PZ-Abstände, Differenzen in % zu 100% Gezählte PZ-Abstände, Differenzen in % zu 100%
100	+1,2845	+0,2964	+1,5316	+2,7668	+0,0494	-0,1976	+0,8728	-1,1857	+3,0138	-0,3211	+0,4940	-0,1976	+8,6956	+2,1080	-0,6917	-3,1620
100	-0,2607	-0,9126	-0,3015	+2,6727	-0,7496	-1,3608	+1,0430	+0,4726	+0,9208	+0,5337	-0,9208	+0,8393	+0,6899	-0,3150	+1,7254	-1,8904
100	-0,2832	-0,5883	+0,0097	+0,6079	+0,1013	-0,0390	+0,4817	+0,2172	+0,4064	+0,4492	+0,7531	-0,2526	-0,1001	-0,4744	+0,6597	+0,0463
100	+0,5222	-0,0879	-0,1194	-0,1339	-0,0261	+0,1182	+0,0776	-0,1152	+0,0986	-0,0172	+0,1949	-0,0044	+0,3053	+0,0449	+0,0345	-0,1850
100	+0,0228	+0,0105	-0,0584	-0,0689	-0,0234	-0,0257	-0,0300	+0,1916	+0,0024	-0,1161	-0,0079	+0,0572	+0,0700	+0,0112	0,0031	-0,1561
100	-0,0224	-0,0173	-0,0219	+0,0247	+0,0143	-0,0381	-0,0378	+0,0478	-0,0181	-0,0459	-0,0059	+0,0085	-0,0462	-0,0225	+0,0280	-0,0327