Musik der Primzahlen  -  nächste Strophe    


Der originale Buchtitel lautet:    Musik der Primzahlen
          'Auf den Spuren des größten Rätsels der Mathematik'   von Marcus du Sautoy    2003


Bitte keine falsche Annahme und keine Sorge um mein Wohlbefinden oder um meinen Verstand. Ich maße mir nicht an, bei der Riemannschen Vermutung ernstlich mitsprechen zu wollen. Es drängt sich lediglich eine parallele Betrachtung auf, die ich hier aufzeigen möchte. Es ist ein Zusammenhang, den man nicht abweisen kann, zumindest dann nicht, wenn man den Spuren des ausgezeichneten Buchtitels nachgeht.


1900 hielt David Hilbert 'seine' Rede in Paris. Sie enthielt eine Reihe mathematischer Probleme.
In Erinnerung blieb vor allem seine Auffordrung zum Nachweis der 'Riemannschen Vermutung'.

1923 stellten Hardy und Littlewood eine Behauptung auf, die die Anzahl der Primzahlabstände unterhalb von x betrifft. Bei
P. Ribenboim
findet sich dazu ein Hinweis, aber keine Vertiefung.
(... Paulo Ribenboim, The New Book of Prime Number Records)
 
2004 fand ich - ohne  Wissen um die Vermutung von 1923 - Erkenntnisse zu dem Thema:
'Relative Häufigkeit von Primzahlabständen' in hinreichend großen Intervallen.
 


Zunächst zu: 
Musik der Primzahlen
Die Interpretation der Riemannschen Vermutung liest sich - gekonnt vereinfacht - etwa so:
( Siehe  Dr. J. Resag ... http://www.joergresag.privat.t-online.de/mybk3htm/chap52.htm )

"Riemann gelang es mit Hilfe der komplexen Zahlen, die Verteilung der Primzahlen in eine mathematische Landschaft über einer zweidimensionalen Ebene zu übersetzen (die sogenannte Zeta-Funktion). Die Topographie dieser Landschaft enthält dabei das gesamte Wissen über die Primzahlen. Insbesondere genügt es, die Punkte auf Meereshöhe (die Nullstellen) zu kennen, um die gesamte Landschaft rekonstruieren zu können. Daher enthalten die Nullstellen alle Informationen über die Verteilung der Primzahlen. Riemann entwickelte eine konkrete Formel, um aus den Nullstellen die Verteilung der Primzahlen zurückzugewinnen. Dabei wirkt jede Nullstelle wie die Quelle für eine sich ausbreitende Welle, die man sich wie einen akustischen Ton vorstellen kann. Die Töne aller Nullstellen überlagern sich zur Verteilung der Primzahlen. Dabei ist eine Nullstelle umso lauter, je weiter östlich (rechts von der y-Achse) sie liegt, und ihr Ton ist umso höher, je weiter nördlich (oberhalb der x-Achse) sie liegt.

Zu seiner Überaschung fand Riemann, dass alle von ihm berechneten Nullstellen gleich laut sind, und dass die Tonleiter der beitragenden Töne bis zu beliebig hohen Tönen weitergeht. Die (unendlich vielen) Punkte auf Meereshöhe (die eine Lautstärke größer als Null besitzen) liegen scheinbar alle auf einer Geraden parallel zur y-Achse, die rechts neben der y-Achse in einem Abstand von 1/2 zu dieser Achse verläuft. Es gibt nur ein Problem: Weder Riemann noch sonst irgend jemand konnte dies bis heute beweisen! Man spricht daher von der Riemannschen Vermutung."

Ebenso wenig bewiesen ist die  'Relative Häufigkeit der Primzahlabstände'.
Die Musik ist die gleiche. Sie muß die gleiche sein, denn die Noten, die Primzahlen sind die gleichen. Nur eines ist anders: Das Instrument für diese  Musik, das Zählen, ist leichter zu spielen als die Instrumente der komplexen Zahlen.

Auf Meereshöhe vernehmen wir eine Musik, ein gleich lautes, abgestimmtes Rauschen, gleichgültig wo wir uns befinden, nahe der Küste oder weit draußen im offenen Meer der Zahlen. Das konstante Rauschen entsteht durch das konstante Verhältnis der Mengen der verschiedenen Primzahlabstände untereinander.
Alle Primzahlabstände der ungeraden Primzahlen sind gerade. Sie haben also mindestens einmal den Primfaktor 2.
Jeder weitere ungerade Primfaktor eines Abstandes (mit beliebiger Potenz) bewirkt, daß dieser Abstand öfter anzutreffen ist als Primzahlzwillinge, entsprechend dem konstanten (Rausch-) Faktor aller aufeinander abgestimmten Primzahlabstände. Diese relative Häufigkeit der Primzahlabstände  gilt im gesamten Zahlenraum bis 'abzählbar unendlich'.

In anderer Formulierung:
In jedem hinreichend großen Zahlenintervall stehen einer beliebigen Anzahl von Primzahlzwillingen (a=2) etwa doppelt soviel Abstände mit a=6 (=2*3) gegenüber. Sinngemäß gilt das für Abstände  mit anderen Primfaktoren >3, und es ist gleichgültig wo ein Intervall liegt, wie weit es vom 'Ufer' entfernt ist. Daß im offenen Meer immer größere Abstände zwischen den Primzahlen anzutreffen sind, das ist hinlänglich bekannt und bewiesen. Nicht bewiesen ist das gleichmäßige Rauschen des Meeres, die Konstanz von

' Relative Häufigkeit der Primzahlabstände '.

Es wäre zu wünschen, daß Mathematiker einen Bruchteil der Energie, die für die Riemannsche Behauptung aufgewendet wurde, für die 'relative Häufigkeit der Primzahlabstände' einsetzen würden.
 

Einen Text von einer anderen Stelle meiner Homepage muß ich hier wiederholen: 

Gelegentlich wird (wurde!) - selbst von hochkarätigen Mathematikern - angezweifelt , daß es in den höchsten Bereichen noch zur Bildung von Primzahlzwillingen kommt. Als Grund wird immer wieder angeführt:

    Der Abstand zwischen Primzahlen kann beliebig groß werden.

Das ist korrekt, allerdings mit einer falschen Schlußfolgerung! Ganz im Gegenteil:
In jenen hohen Bereichen sind selbst die mittleren Primzahlabstände extrem groß. Und nur durch Bildung von 'beliebig großen' Abständen existieren an anderen Orten des Zahlenstrahles dichtere, nicht gestrichene Primzahlfolgen.... in konsequenter Weise, nach dem gegebenen Gesetz der 'relativen Häufigkeit' von Primzahlabständen:

Die höchste Dichte ist dann ein restlicher Primzahlzwilling - oder auch mehrere. 

Wobei es sich nicht um eine 'nachträgliche Verdichtung' handelt. Diese Zwilllingdichte ist vor dem Streichen nach Eratosthenes an jeder Stelle des unendlichen Zahlenstrahles vorgegeben. Man sollte annehmen, daß dazu auch jene Mathematiker Zugang finden, die ablehnen, was mit gängigen Methoden nicht beweisbar erschien.
Sehen Sie dazu auch:  
Konzentrat: "Relative Häufigkeit von Primzahlabständen"  



Nachtrag in 2010 zu Ehren von Hardy und Littlewood  -  zu der Vermutung anno 1923

Ein Rauschen des Meeres der Primzahlen kann man vorteilhaft demonstrieren,
wenn man ausgezählte und berechnete Werte der Primzahlabstände gegenüberstellt.

    Hier werden dazu Primzahlabstände   a=2 bis a=32   und zwar in
    6 Zahlenbereichen, jeweils von 1 bis max. 10^9 untersucht.

    In der Tabelle ist der unterste, rote Teil - insbesondere die letzten Zeilen - zu beachten:
    Es sind äußerst geringe Abweichungen 'gezählt zu berechnet' in % zum normierten Wert 100  !!
    Gäbe es keine statistische Streuung, wäre der Wert in jedem der Felder gleich NULL.

    Zur Auszählung benutztes Programm  ... KK.exe siehe
    
Primzahlen oder die Magie der Zahlen ... http://euroware.de  von Reinhold Kiebart  
 
Rel.H._rh(n) 1 1 2 1 4/3 2 6/5 1 2 4/3 10/9 2 12/11 6/5 8/3 1
PZ_Abstand:

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

Bereich bis:                Exakt gezählte PZ-Abstände in 6 Bereichen   von 1 bis 10^9  ( 1 Milliarde):
10 ^4

205

203

411

208

270

404

245

200

417

269

226

404

240

248

536

196

10^5

1224

1216

2447

1260

1624

2421

1488

1233

2477

1645

1351

2475

1348

1468

3329

1204

10^6

8169

8144

16386

8242

10934

16378

9878

8210

16451

10972

9171

16343

8928

9784

21990

8196

10^7

58980

58622

117207

58595

78211

117486

70463

58606

117463

78218

65320

117342

64203

70440

156517

58565

10^8

440312

440258

879908

439908

586811

880196

528095

441055

880444

586267

489085

880927

480567

528313

1173934

439524

10^9

3424506

3424680

6849047

3426124

4567691

6847940

4108774

3426914

6849306

4564935

3805634

6851136

3734935

4109402

9136632

3424153

                             Gezählte PZ-Abstände, reduziert um die relative Häufigkeit rh(n)  und normiert auf 100% :
10^4

101,28459

100,29644

101,53162

102,7668

100,04941

99,80237

100,87286

98,81423

103,01383

99,67885

100,49407

99,80237

108,69565

102,10804

99,3083

96,83794

10^5

99,73924

99,08735

99,6985

102,67275

99,25033

98,63918

101,04302

100,47262

100,9208

100,53374

99,0792

100,83931

100,68992

99,68492

101,72547

98,10952

10^6

99,7168

99,41164

100,00977

100,6079

100,10132

99,96094

100,48176

100,21728

100,40648

100,44921

100,75316

99,74732

99,8999

99,52557

100,65977

100,04639

10^7

100,52221

99,91206

99,88053

99,86604

99,97384

100,11828

100,07766

99,88479

100,09868

99,98279

100,19498

99,99557

100,30533

100,04499

100,03456

99,81491

10^8

100,02285

100,01059

99,94153

99,93108

99,97657

99,97424

99,96996

100,19164

100,00241

99,88389

99,99207

100,05727

100,07005

100,01123

100,00315

99,84385

10^9

99,97754

99,98262

99,97805

100,02477

100,01439

99,96189

99,96213

100,04784

99,98183

99,95404

99,99402

100,00854

99,95373

99,97741

100,02807

99,96723

                                                     Gezählte PZ-Abstände, Differenzen in %    zu 100%                                                                                       Gezählte PZ-Abstände, Differenzen in %    zu 100%  
100

+1,2845

+0,2964

+1,5316

+2,7668

+0,0494

-0,1976

+0,8728

-1,1857

+3,0138

-0,3211

+0,4940

-0,1976

+8,6956

+2,1080

-0,6917

-3,1620

100

-0,2607

-0,9126

-0,3015

+2,6727

-0,7496

-1,3608

+1,0430

+0,4726

+0,9208

+0,5337

-0,9208

+0,8393

+0,6899

-0,3150

+1,7254

-1,8904

100

-0,2832

-0,5883

+0,0097

+0,6079

+0,1013

-0,0390

+0,4817

+0,2172

+0,4064

+0,4492

+0,7531

-0,2526

-0,1001

-0,4744

+0,6597

+0,0463

100

+0,5222

-0,0879

-0,1194

-0,1339

-0,0261

+0,1182

+0,0776

-0,1152

+0,0986

-0,0172

+0,1949

-0,0044

+0,3053

+0,0449

+0,0345

-0,1850

100

+0,0228

+0,0105

-0,0584

-0,0689

-0,0234

-0,0257

-0,0300

+0,1916

+0,0024

-0,1161

-0,0079

+0,0572

+0,0700

+0,0112

0,0031

-0,1561

100

-0,0224

-0,0173

-0,0219

+0,0247

+0,0143

-0,0381

-0,0378

+0,0478

-0,0181

-0,0459

-0,0059

+0,0085

-0,0462

-0,0225

+0,0280

-0,0327