Vermutungen: Goldbach

Vermutungen wurden und werden in der Mathematik immer wieder ausgesprochen. Die Folge davon ist: Ein Heer von klugen Köpfen zerbricht sich eben diese Köpfe. Es gilt zu beweisen, daß ein vermuteter Zusammenhang wahr oder falsch ist. Eventuell entsteht eine Aussage, daß ein Beweis nicht geführt werden kann. Dies ist dann ebenso streng zu beweisen, sonst entstünde lediglich eine weitere Vermutung....

Chr. Goldbach ( 1690 - 1764 ) Seine berühmte Vermutung aus dem Jahre 1742 lautet:

Jede ganze gerade Zahl > 4 ist als Summe von zwei ungeraden Primzahlen darstellbar.

Eine Flut von Meinungen und Veröffentlichungen hierzu ergoß sich in den letzten 250 Jahren über die Schreibtische. Mir steht nicht an einen weiteren Kommentar zu versuchen. Im goldgeränderten Brockhaus las man schon vor einigen Jahrzehnten: "Ein Beweis ist bisher nicht erbracht worden, doch ist nach Untersuchungen über die Anzahl der Zerlegungsmöglichkeiten gerader ganzer Zahlen in zwei Primfaktoren ein Zweifel an der Richtigkeit der GOLDBACHschen Vermutung kaum möglich."

Einen zu diesem Thema gehörenden und bewiesenen Satz von I. M. Vinogradov aus dem Jahre 1937 möchte ich hier wegen seiner Bedeutung einflechten. Der Satz bezieht sich ausdrücklich auf ungerade Zahlen und lautet:

Jede hinreichend große ungerade Zahl ist als Summe dreier Primzahlen darstellbar....

Den folgenden Text schrieb ich vor 2004:
Eine andere Vermutung, von wann und wem sie auch stammt, ist nicht bewiesen und wohl auch nicht beweisbar, da hierbei die Verteilung der Primzahlen im Spiel ist. Sehr im Gegensatz zum Beweis der Existenz unendlich vieler Primzahlen, bei dem die Verteilung der Primzahlen nicht tangiert wird! Diese Zwillings-Vermutung wird häufig genannt:

Es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge.

An dieser Stelle ist eine Bemerkung sehr wichtig: Auch Milliarden von numerischen Rechnungen sind nicht der Staubkorn eines Beweises für eine offeneFrage oder ein bestehendes Problem. Dennoch kann gerade in unserer Zeit jeder einfache PC mit einem selbstgeschriebenen, kleinen Programm zu eigenen Einsichten und Erkenntnissen führen. Es ist bekannt, daß die Anzahl der Primzahlzwillinge abnimmt, je höher der untersuchte Zahlenbereich ist. Gut zu erkennen ist die "rückläufige" Zunahme von Primzahlzwillingen in der folgenden Tabelle ( bei Schritten von 4.5*10^6 ):

p            bis Produkt      Zwillinge        Zunahme
    1                4500000          29705          29705
    2                9000000          53867          24162
    3               13500000          76353          22486
    4               18000000          98106          21753
    5               22500000         118981          20875
    6               27000000         139526          20545
    7               31500000         159570          20044
    8               36000000         179257          19687
    9               40500000         198905          19648
   10               45000000         217981          19076

Doch wie sieht die Sache aus, wenn man die Schritte der zu untersuchenden Bereiche anders wählt? In der Literatur werden häufig die Zahlen für ansteigende 10er Potenzen angegeben. Noch dramatischer ist der Verlauf, wenn als Zählbereiche die Produkte der laufenden Primzahlen verwendet werden....

p bis Produkt Primzahlen Zunahme Zwillinge Zunahme 3 (*2=) 6 3 3 2 2 5 30 10 7 5 3 7 210 47 37 15 10 11 2310 343 296 70 54 13 30030 3248 2905 468 399 17 510510 42332 39084 4636 4168 19 9699690 646030 603698 57453 52817 23 223092870 12283532 11637502 896062 838609 29 .......................................................

Ich will die Zahlen absolut nicht kommentieren und überlasse jedem Leser die eigene Schlußfolgerung, wie die Sache denn weitergehen könnte und gehen muß..... Sehen Sie bitte dazu den späteren Nachtrag:
Analogie zu Euklid - Primzahlen - Primzahlzwillinge

Andere, eigene Vermutungen lassen sich beinahe beliebig konstruieren. Ich wage einen solchen Gedanken zu zeigen. Es ist die Erweiterung der letzten Vermutung
"Es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge.":

Jede ganze gerade Zahl ist als Differenz
zweier ungerader Primzahlen unendlich oft zu finden.

Diese Überlegung wird nicht als "Jeschkes Vermutung" in die Geschichte eingehen. Aber sie ist interessant, sie ist mit jedem Zahlenprogramm nachvollziehbar zu studieren und erlaubt auch dem Laien einen weiteren Einblick in das Gebäude der Zahlen. Als gefälliges Beispiel sollen beliebige Zehner-Potenzen die geraden Zahlen ersetzen. Wohl gemerkt, jede andere ganze gerade Zahl liefert vergleichbare Werte, allerdings nicht so einfach darstellbar:

10^1 + 3, 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 73, 79, ... alle Summen prim 10^2 + 3, 7, 13, 31, 37, 67, 73, 79, 97, 127 10^3 + 13, 19, 31, 61, 97, 103, 109, 151, 163, 181 10^4 + 7, 37, 61, 67, 79, 103, 139, 151, 163, 181 10^5 + 3, 19, 43, 103, 109, 151, 193, 271, 313, 379 10^6 + 3, 37, 151, 193, 199, 211, 313, 367, 397, 409 10^7 + 19, 79, 103, 139, 223, 229, 271, 349, 379, 439, 10^8 + 7, 37, 73, 127, 193, 223, 379, 421, 463, 541 10^9 + 7, 97, 103, 181, 223, 241, 271, 349, 409, 433 ................. 10^70 + 691 2113 3229 4153 4933 7321 7753 7867 8461 8581 10^71 + 691 937 1567 2029 3001 3319 3529 4591 5011 5653 10^72 + 1201 1951 3637 3733 4567 9007 11677 15187 15727 16033 10^73 + 79 829 3307 4201 4597 4639 4723 5227 5431 5701 10^74 + 547 1879 2521 3733 4153 6421 7027 7591 8011 9067 10^75 + 1213 2659 2917 3547 4969 5323 8461 9613 11161 12487

In Zeile 10^6 sind prim: 3 bezw. 1000003, 37 bezw. 1000037, 151 bezw. 1000151, usw. (10 Werte)

In Zeile 10^75 letzter von 10 Werten ist prim: 12487 bezw. 1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000012487

Mit diesen Übelegungen kehre ich zu der Vermutung unendlich vieler Primzahlzwillinge zurück. Im letzten Abschnitt ging es ebenfalls um zwei Primzahlen, die ich gegensätzlich "ZWEILINGE" nennen will, und die statt der Differenz 2 eine Differenz von z. B. 10 hoch 75 aufweisen. Ja, und von dieser und jeder anderen Sorte gibt es unendlich viele..... so muß man erkennen.

Schließlich erlauben Sie mir zum Abschluß mit ein wenig Logik und den obigen Aussagen nochmal eine Vermutung zu konstruieren, zu formulieren, die man so nicht erwarten würde. Wenn man genau hinsieht, ist es "Jeschkes Vermutung" von oben in anderer Form: