Analogie zu  Euklid:  Primzahlen - Primzahlzwillinge

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Es gibt keinen einfachen Beweis unendlich vieler Primzahlzwillinge. Besser gesagt, die heutigen Axiome der Mathematik legen die Latte für einen solchen Beweis sehr hoch. Andererseits existiert der Satz von Euklid, der lautet im Original:
 
"Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Anzahl von Primzahlen". Das ist identisch mit:
"Es gibt unendlich viele Primzahlen".

Zum Beweis dieses Satzes wird ein bestimmtes Prozedere im endlichen Zahlenbereich benutzt. Nur indirekt kann dabei auf 'unendlich' geschlossen werden. Man muß daher einen Widerspruch darin sehen, wenn jeder Versuch eines Primzahlzwillingsbeweises auf der Zahlengeraden zurückgewiesen wird, wo doch der 'elegante' Beweis nach Euklid ebenfalls nur auf gegebenen Primzahlen im 'abzählbar unendlichen' Bereich begründet ist. In der folgenden Tabelle wird ein analoger Gedankengang zu Euklid entwickelt. Der wesentliche Unterschied ist:
                  In der Tabelle ist die rechte Spalte jeweils parallel zu der linken zu sehen.
Beweis
unendlich vieler Primzahlen nach Euklid		 Überlegung zur
Existenz unendlich vieler Primzahlzwillinge
Aus allen bekannten Primzahlen 2 bis p wird das Produkt xp gebildet. Man kann den Wert xp (von links) benutzen, obwohl auch jede andere hohe Schranke verwendbar ist.
xp wird 'aufgerundet' zum nächsten ungeraden x.
x = xp + 1  

  		xp wird aufgerundet zu der nächsten ganzzahligen Potenz x=10^(10^s), das ist eine Schranke x mit 10^s Stellen im 10er Zahlensystem.
Eine obere Grenze für 10^s existiert nicht.
x wird auf Primalität bezw. Primfaktoren geprüft und ist entweder...
a)  eine neue Primzahl >p  oder
b)  das Vielfache einer neuen Primzahl >p


Eine größere Primzahl wird gefunden, 
...abhängig von den gegebenen Mitteln.		 Der mittlere Zwillingsabstand mZA bei der Schranke x ist mit sehr guter Näherung:  
mZA = 4 * 10^(2*s)     (Ableitung: Kasten unten)
Ein Intervall Iv bei Schranke x wird berechnet,
das ca 250 Zwillinge enthält:
Iv = 10^(2*s+3)      Stellenzahl  si = 2*s +3
~250 vorkommende Primzahlzwillinge werden gefunden, ...abhängig von gegebenen Mitteln.
Neues Primzahlprodukt xp' ...
ad infinitum		 wieder xp' (von links) oder neue Schranke mit höherer Stellenzahl 10^s' ... ad infinitum



Zwingend folgt aus der rechten Spalte der oberen Tabelle ...

"Es gibt mehr Primzahlzwillinge als in jeder vorgelegten Anzahl von Primzahlen enthalten sind."  
Gleichbedeutend:   "Es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge."
Ableitung für    'mittlerer Zwillingsabstand'   mZA   
dekadischer Logarithmus   lg x = ln x / ln 10      ln 10 = 2.302585... und
Zwillingskonstante  C=1.3203236316...  (aus heuristischen Überlegungen)
Anzahl Primzahlzwillinge bis Schranke x ...   pi.a2(x) = C*x / (ln x)^2
Anzahl Primzahlzwillinge in einem Intervall Iv bei Schranke x ...   pi.a2
... allgemein anerkannt ist:      pi.a2 = C*Iv / (ln x)^2  
Intervall für einen Zwilling = mittl. Zwill. Abstand =  mZA = (1/C)*(ln x)^2
und aus  ln x = lg x * ln 10, wird die neue Konstante 1/C"...
1/C" = (ln 10)^2 / C = 4.0156  ~ 4              somit:  mZA ~ 4 * (lg x)^2    
für x=10^(10^s)  ist  lg x = 10^s  und  (lg x)^2 = 10^(2*s)
bei  10^s Dezimalstellen ... mittl. ZwillingsAbstand    mZA ~ 4 * 10^(2*s)
Intervall iv für 250 Primzahlzwillinge:  Iv ~ 250*4 * 10^(2*s) = 10^(2*s+3)

Ergänzung:
Hinreichend große Intervalle zeichnen sich nicht nur durch die Existenz der angepeilten Primzahlzwillinge aus. Diese Zwillinge stehen nicht willkürlich auf der Zahlengeraden. Sie sind ein kleiner Teil einer großen Menge von Primzahlen, die nur scheinbar unregelmäßig verstreut sind. Tatsächlich unterliegt die Häufigkeit dieser Primzahlabstände - und damit auch die Häufigkeit der Primzahlzwillinge - einer strengen Gesetzmäßigkeit.
An jedem beliebigen Ort der Zahlengeraden enthält ein hinreichend großes Intervall
Primzahlabstände a>=2 in einem vorgegebenen Mengenverhältnis !!

 Z. B. gilt für Abstände mit ganzzahligen Potenzen h (=natürliche Zahlen) von Primzahlen:
Für 2^h ... alle h>1 etwa so häufig, wie Primzahlzwillinge mit h=1
 2* 3^h ... etwa 2/1 mal so oft als Zwillinge (also ~ doppelte Anzahl)
 2* 5^h ... etwa 4/3 mal so oft als Zwillinge
 2* 7^h ... etwa 6/5 mal so oft als Zwillinge...     und allgemein gleich häufig zu allen Fällen
                 sind auch Abstände, die zusätzlich GROSSE Primzahlfaktoren enthalten!

Allgemein formuliert - als gegebene Tatsache - ohne jede spekulative Vermutung:
Es ist mein Thema der Jahre 2004/06 mit Antwort auf die Frage....
Was bieten Intervalle mit einer hinreichend großen Anzahl von Primzahlen?
Jeder Primzahlabstand a>2 existiert in einem solchen Intervall in vorgegebener
'relativer Häufigkeit'....  relativ zu der Anzahl von Primzahlzwillingen mit a=2 .
Mehr dazu unter... Konzentrat:  "Relative Häufigkeit von Primzahlabständen"
1. Auflockerung / Anmerkung:
Eigentlich - genau gerechnet - wären es oben nicht 250 Primzahlzwillinge, sondern nur 249, denn dieser Wert ergibt sich aus 1000 / 4.0156...  Das geht aber in der Abschätzung unter!
Alle Primzahlabstände, die ganze Potenzen von 10 sind, werden dann  249*4/3 ~ 332 mal auftreten... Das sind Abstände wie 100, 10^7 oder 10^33 aber auch 20, 400, 2.500 oder 10.240 , denn alle diese Zahlen haben nur einen ungeraden Primfaktor  5  mit  rh(n) = pi.a2*(5-1)/(5-2) = pi.a2*4/3   

2. Auflockerung und kleine Hilfe:
Die größten bekannten Primzahlen (2008/09) haben etwa  10 Millionen Stellen. 
Das sind Zahlen etwas unterhalb oder bei   x=10^(10^7).
Druckt man auf eine DinA4 Seite 10.000 Ziffern, dann braucht man 1.000 Blatt für diese 10 Millionen Stellen. Das ist ein Papierstapel von etwa 10 cm Höhe. - Um nun einen Bereich von etwa 250 Primzahlzwillingen bei 10^7 Stellen zu erfassen, sind auf dem letzten der 1000 Blatt gerade mal die letzten 17 Stellen (=2*7+3) zu bearbeiten. Dieser winzig kleine Teil (!) der hohen Schranke x enthält tatsächlich jene hier kalkulierten 250 Primzahlzwillinge! Dabei ist es völlig gleichgültig, ob man dieses Intervall ober oder unterhalb von x wählt. Jedes einzelne Intervall dieser Größe im Bereich der hohen Schranke enthält jene 250 Primzahlzwillinge !!! So einfach sind die Tatsachen einzukreisen. Man muß bereit sein, diese in vollem Umfang aufzunehmen, auch dann, wenn wir die sehr großen Zahlen heute noch nicht benennen können.
 
All dies dient der besseren Vorstellung, worum es hier in hohen Zahlenbereichen geht....  hier, auf der Seite der 'kleinen Primzahlen'. Viel Spaß - und eine Mail von Ihnen wäre ganz nett!