Keine
Frage: Die
Collatz-Folge '3n+1' steht in engem Zusammenhang mit der Folge '3n-1'.
Sehr schnell wird man jedoch feststellen, daß bei den 3n-1
Folgen auch Endlosschleifen auftreten. In
der Lliteratur wird das Thema auch behandelt, ohne die eigentliche Ursache zu ermitteln.
Die beiden störenden
Zahlenreihen der Schleifen bei 3n-1 sind:
(5,14,7,20,10) und
(17,50,25,74,37,110,55,164,82,41,122,61,182,91,272,136,68,34)
Reduziert auf ungerade Werte:
(5,7) und (17,25,37,55,41,61,91)
Bei 3n-1 gibt es viele Startzahlen, deren Folgen über eine
dieser Zahlen in eine Schleife münden.
Zwangläufig stellt sich die Frage, wie sind die hier gewonnen Erkenntnisse mit 3n-1 zu vereinbaren?
Der
3n+1_Folgenverlauf zu der
Startzahl n ist eindeutig abhängig von den
Primfaktoren der Zahl n+1.
n'
= ( ( (n+1) / 2^j ) * 3^j -1) / 2^e Formel A
Der
3n-1_Folgenverlauf zu der
Startzahl n ist eindeutig abhängig von den
Primfaktoren der Zahl n-1.
n'
= ( ( (n-1) / 2^j ) * 3^j +1) / 2^e Formel B / Die Nenner 2^j und 2^e sind
die größte im jeweiligen Zähler aufgehende
Zweierpotenz./
Häufig wird
eine 'Abhängigkeit von Primfaktoren' mit dem Wort
'Zufall' beschrieben. Hier sind es die Primfaktoren von n±1.
Dieser scheinbare Zufall ist jedoch nicht mit einem echten Zufall
-
etwa per 'auswürfeln' - vergleichbar! Deshalb ein
Vorschlag:
Das Wort 'Zufall' sollte hier ersetzt werden durch ein Kunstwort ... 'Primfall' !!
Ob eine Folge 3n±1 bei EINS oder in
einer Schleife >4,2,1 endet, ist ein
solcher Primfall.
Ich
wage auszusprechen: Lothar Collatz hat sich auch
die
Folge 3n-1 angesehen und seine Vermutung folgerichtig beschränkt auf 3n+1. Heute
wissen wir:
3n+1 ist primfallbedingt ohne Endlosschleifen,
3n-1 dagegen nicht !!
Eine
Primfall-Bedingung erschwert jede direkte Beweisführung und führt letztlich zur
Unbeweisbarkeit. Andererseits erleichtert es das Problem, wenn man
eine solche Bedingung akzeptiert. Wichtig: Bei den Collatz-Folgen
(3n+1) wurden bisher keine Endlosschleifen - außer 4,2,1 - gefunden, trotz hohen Computeraufwandes bis n ~ 5.76 * 10^18 (Stand 2009). Richtig, es gibt keine:
Bei den allgemein
verwendeten 3n+1 Programmen (Collatz) wird - ausgehend von einer
beliebigen Startzah - bis herunter zur EINS berechnet, sagen wir ruhig:
'manövriert'.
Ersetzt man 3n+1 durch 3n-1 landet man bei bestimmten n primfallbedingt in einer Schleife.
Was ist dagegen zu tun?
Wir wissen heute, dass jede 3n±1 Folge mit i Gliedern auf eine gleich lange Basisfolge 2^i zurück geht.
Die Lösung liegt in einer exakten Permutation der Folge 2^i. Hier nun
aber nicht Collatz-gerecht, sondern über den neuen Wert 3n-1 Dieses
Prozedere kann nun nicht mehr zu einer Schleife führen. Die kritischen
Zahlenwerte werden nicht mehr 'gefunden' und wir landen garantiert bei
der vorgegebenen EINS der FOlge 2^i. So einfach ist das Collatz-Problem
zu sehen, zu lösen.'
Nachtrag im August 2011
Bitte sehen Sie sich die weiteren Ergebnisse an, es lohnt sich den Kreis zu schließen: Extrem
viele Dezimal-Folgen - einschließlich der 'einen' Collatz-Folge
