Die Ulam-Folge - oft besprochen - belächelt - bewundert
Die Ulam-Folge - dazu eine allgemeine Erweiterung - neu

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Nach Ulam / Collatz gilt für jede ganze, positive Zahl n eine einfache Regel, die über eine Zahlenfolge nach endlich vielen Schritten zu dem Wert n=1 führt. Sie lautet:

Für gerade Zahlen n(1)         n(2) = n(1) / 2
Für ungerade Zahlen n(1)     n(2) = 3*n(1) + 1

Der Verlauf einer Ulam-Folge ist chaotisch, weitgehend auch die Zahl der notwendigen Schritte. Die Folgen benachbarter Zahlen sind unterschiedlich, allerdings kann die Zahl der Schritte bis zum Wert 1 gleich sein.

Wohl jeder, der sich ernsthaft mit dem Ulam-Problem befaßt, versucht eine Abänderung dieser Folge, z.B. statt 3*n+1 etwa 3*n-1. Die böse Überraschung folgt sofort. Entweder führt eine solche Zahlenfolge zu einer Endlosschleife oder die Werte sprengen den möglichen Zahlenbereich. Es gibt aber auch positive Ansätze für Ulam-ähniche Folgen. Nicht ausreichend ist, einfach 3*n durch f*n zu ersetzen. Es soll hier deshalb eine neue Definition für die Ulam-Folge eingeführt werden, die dann eine Ausdehnung auf sehr viele ungerade Faktoren f gestattet.

Neue Definition der bekannten Ulam-Folge:

Dabei gilt:       f = ungerader Faktor für Multiplikation       g = (größte 2er Potenz)<f       div = Ganzzahldivision
(Mit f=3 und g=2 erhält man Original Ulam!)

Für gerade Zahlen n(1)         n(2) = n(1) div g
Für ungerade Zahlen n(1)     n(2) = {[f*n(1) + g] div g}*g

Anmerkung: Die äußere, geschweifte Klammer mit *g kann eventuell entfallen, da im nächsten Schritt ohnehin durch g dividiert wird. Man erhält dann eine verkürzte Folge. Am Prinzip ändert sich dadurch nichts. - Der Endwert der Folge nach einer endlichen Schrittzahl ist immer kleiner als g, bei Ulam also 1.

Beispiele:

n=23, f=3, g=2        23,70,35,106,53,160,80,40,20,10,5,16,8,4,2,1 (Ulam, original)

n=23, f=7, g=4        23,164,41,288,72,18,4,1

n=23, f=45, g=32    23,1056,33,1504,47,2144,67,3040,95,4288,134,4

Achtung: f=57        91,5216,163,9312,291,16608,519,29600,925,52736,1648,51,2912,91...... Endlosschleife!

Untersucht wurden weite Bereiche für die Werte n und f, ohne daß ein Überlauf nach oben eintrat. Endlosschleifen, abhängig vom Startwert, traten sehr selten und unregelmäßig auf. Die erste Schleife mit dem niedrigsten f ist oben angeführt. Die weitaus überwiegende Menge der Folgen entspricht exakt dem Verhalten der Ulam-Folge. Das betrifft auch eine gewisse Regelmäßigkeit, die auftritt wenn g+1 < n < 2*g+1 ist. Nur ist diese Regelmäßigkeit bei Ulam mit n=3 und f=2 kaum zu erkennen! Die Länge der Folgen nimmt mit zunehmendem f im Schnitt ab. So ist die Ulam-Folge mit dem kleinsten f die durchschnittlich längste unter allen Folgen. Diese Tatsache ist die einzige, die Ulam gegenüber den anderen auszeichnet.

Insgesamt ist festzustellen: Die große Mehrzahl ungerader Faktoren f, so auch Ulams f=3, führt nach wiederholter Anwendung der vorgegebenen Rechenoperationen zu 1 oder nahe 1. Dieses Verhalten bleibt dabei dem Zufall überlassen , da auch Endlosschleifen auftreten. Bestimmend für den Verlauf der Ulam-Folge und ähnlicher Folgen sind die Primfaktoren der einzelnen Glieder dieser Folgen. Dividiert wird n stets durch die höchste Potenz von 2 kleiner f. Dadurch wird das Produkt der ungeraden Primfaktoren von n bestimmt. Multipliziert wird dieses n mit dem Faktor f mit dem Ziel eines nächsten, größeren n.

Analogon: Eine Vorschau auf den Verlauf oder die Schrittzahl derartiger Folgen ist ebenso unmöglich, wie etwa die Primfaktoren für die nächsten n in der natürlichen Zahlenfolge angeben zu wollen, ohne diese Zahlen vorher auf Primfaktoren untersucht zu haben!