Primzahl-Reziprokwerte

Reziprokwerte von Primzahlen

_______
1 / 7 = 0.142857142857...

Jeder Taschenrechner liefert die Ziffernfolge 142857, die sich periodisch wiederholt. Doch wie sieht es aus, wenn dieser Reziprokwert ohne eine Division durch die Zahl 7 ermittelt werden soll?

Vermutlich ist das Folgende in der Zahlentheorie irgendwo nachzulesen. Bisher fand ich nichts und hoffe daher, daß es unter meinen Besuchern jemanden gibt, der mehr dazu sagen oder eine Literaturstelle nennen kann.

Jeder Primzahl P mit der Endziffer Z=1, 3, 7 oder 9 läßt sich
eine bestimmte Zahl zuordnen, hier Faktor F genannt.
Mit F läßt sich der Kehrwert jeder Primzahl als
Reihenentwicklung angeben.

F = ( E*P +1 ) / 10

Z	1	3	7	9
E	9	3	7	1

E = Endziffer der Periode

Das "Ausrechnen" (Auswertung der Reihenentwicklung) der Periodenstellen des Reziprokwertes durch Multiplikation erfolgt von links nach rechts oder von rechts nach links. Der Begriff „reziproksymmetrisch“ beschreibt die Ziffernfolge der Periode recht zutreffend, denn man multipliziert entweder mit 1/(10*F) oder mit 10*F .

von links nach rechts:

1/P= E*[1/(10*F) +1/(10*F)^2 +1/(10*F)^3...]

von rechts nach links:

... E*[1 +10*F + (10*F)^2 + (10*F)^3...]

P	3	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	53	59	61	67	71	73	79	83	89	97
F	1	5	10	4	12	2	7	3	28	26	37	13	33	16	6	55	47	64	22	8	25	9	68
L	1	6	2	6	16	18	22	28	15	3	5	21	46	13	58	60	33	35	8	13	41	44	96

L = PeriodenLänge des Reziprokwertes von P, hier ohne Bedeutung

Beispiel:   1/7 = ...          P=7   E=7 F=5
    ______                              ______
= 0.142857142857..................142857142857
(7.0             = 7/1)                     7 = 7*1
0.14            = 7/50                   350 = 7*50
0.0028          = 7/2500               17500 = 7*2500
0.000056        = 7/125000            875000 = 7*125000
0.00000112      = 7/6250000         43750000 = 7*6250000
0.0000000224    = 7/312500000     2187500000 = 7*312500000
--------------                    ----------
0.142857142...                    ....142857 = aufsummiert

Beispiel:   1/19 = ...        P=19 E=1 F=2
        __________________                  __________________
= 0.052631578947368421052631578947368421052631578947368421
(1.0)                                                   1
0.05                      0.05 = 1/20                 20
0.0025                                               400
0.000125              Reziproke Symmetrie           8000
0.00000625     für 1/19 besonders anschaulich!    160000
0.0000003125                                     3200000
0.000000015625                                  64000000
0.00000000078125                              1280000000
0.0000000000390625                           25600000000
0.000000000001953125                        512000000000
0.00000000000009765625                    10240000000000
0.0000000000000048828125                 204800000000000
0.000000000000000244140625              4096000000000000
0.00000000000000001220703125           81920000000000000
0.0000000000000000006103515625       1638400000000000000
------------------------------       -------------------
0.052631578947368421... aufsummiert ...631578947368421

Ausblick und Frage: In der Tabelle ist für P = 3 bis 97 die Periodenlänge L angegeben. Noch fehlt mir für diese eine ganz konkrete, direkte Berechnungsmethode..... Florian B., ein junger Mann aus der Schweiz gab mir den richtigen Tip. Danke!

P	3	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	53	59	61	67	71	73	79	83	89	97
F	1	5	10	4	12	2	7	3	28	26	37	13	33	16	6	55	47	64	22	8	25	9	68
L	1	6	2	6	16	18	22	28	15	3	5	21	46	13	58	60	33	35	8	13	41	44	96

P	3	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	53	59	61	67	71	73	79	83	89	97
F	1	5	10	4	12	2	7	3	28	26	37	13	33	16	6	55	47	64	22	8	25	9	68
L	1	6	2	6	16	18	22	28	15	3	5	21	46	13	58	60	33	35	8	13	41	44	96

P	3	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	53	59	61	67	71	73	79	83	89	97
F	1	5	10	4	12	2	7	3	28	26	37	13	33	16	6	55	47	64	22	8	25	9	68
L	1	6	2	6	16	18	22	28	15	3	5	21	46	13	58	60	33	35	8	13	41	44	96