Eigentlich kann man Parkettierungen und Primzahlen nur begrenzt verbinden. Sicher, es gibt regelmäßige Dreiecke, Vierecke, Fünfecke und natürlich die Sechsecke. Nur zweimal ist die Eckenzahl prim: 3 und 5, wobei das Fünfeck als einziges keine geschlossene Parkettierung erlaubt. Es führt in einem ebenen Parkett immer zu Lücken, die nicht geschlossen werden können.... Es sei denn, man greift z.B. auf das exzellente Penrose-Mosaik zurück, das auf dem Winkel von 72° basiert (5er Teilung). Das einzige Unschöne daran ist, es wurde von einem genialen Denker gefunden - vor den Tagen der Homepages, auch der meinen. Deshalb zum Einstieg in das Thema etwas aus der eigenen Küche, das man so nicht findet....

.... ein "flügges" 5-er Parkett = ein Zehneck mit nur einem Element:

Zurück zu den Primzahlen:  Die 7 wäre die nächste prime "number", nach der 5. Doch 360° durch 7... ? Welch krumme Ziffer! Stellt man sich zusätzlich die Aufgabe, höchstens 2 Mosaik-Steine anzuwenden - denn bei Penrose gibt es auch nur den "Drachen" und den "Pfeil" - dann scheint die Sache hoffnungslos.
Doch hier ist mein (allgemeiner) Vorschlag reduzierbar auf  EINEN Stein:
Ein Siebeneck läßt sich mit Zirkel und Lineal nicht konstruieren. Aber der Rechner macht es und legt und dreht das Siebeneck, ganz nach Wunsch:

Was zeigt das Bild?

• Auszugehen ist hier von dem blauen regelmäßigen Siebeneck. Dieses wird in 2 Schritten um die rechte untere Ecke gedreht, pro Schritt um einen Winkel von 180°/7. Die 2 neuen Siebenecke erzeugen mehrere Schnittfiguren mit dem blauen Siebeneck. Ich benenne die Figuren:

• Links, herausgezogen, hellgrau:           Großes (linkes) Dach

• Rechts, herausgezogen, dunkelgrau:    Großes (rechtes) Dach

• Ganz rechts, großes Dach geteilt in:     2x "Kleines Dach" 1x grün, 1x grau = echter Siebeneckabschnitt

• Allgemein ist zu sehen, dass eine streifenförmige, periodische Parkettierung (Mosaik) der Zeichenebene in verschiedener Weise mit einem oder zwei Mosaiksteinen möglich ist.

Welche weiteren Möglichkeiten eröffnen die gefundenen Steine? Ist eine 7-fache Anordnung im Winkel möglich? Vorteilhaft verwendet man die 2 grauen Steine "Großes Dach". Diese sind direkt ersetzbar durch je 2x "Kleines Dach". Mit anderen Worten, eine Vielzahl gleicher Steine von einer einzigen Sorte erlaubt eine geschlossene Parkettierung der Ebene (siehe Nachtrag auch für beliebige Winkelteilung n):

Nur zweimal "Ein Streifen Papier" als Meterware würde genügen, um die längeren Abschnitte für den äußeren Kranz zu fabrizieren.... Nun könnte man einwenden, es ist ja eigentlich ein 14-Eck! Kein Problem, das nächtse Bild hat im Zentrum ein lupenreines Siebeneck und die Ringe sind ganz spezielle Polygone. Wieder wurden nur "Große Dächer" verwendet, die durch je 2 "Kleine" ersetzbar sind, siehe den innersten Ring!! Wendet man dies für das ganze Bild an, hat man nur einen Mosaikstein zur Umschließung des Siebeneckes:

Mit dieser "Segment-Technik" lassen sich auch Spiralen erzeugen, siehe unten das linke Bild mit einer 7-er Teilung und....
andere Vielecke mit andern Teilungen n=5, 6, 7, 8, 9... sind realisierbar. Sie sind nicht so schön wie die "Penrose Tiles", man kann aber andere Tricks mit ihnen versuchen.

Das Startbild, ganz oben, hat nur einen einzigen Mosaikstein, das "5-er Dach", ein echter Abschnitt des Fünfeckes. Das folgende mittlere Bild zeigt nochmals die vollkommene Harmonie des Musters. Zusätzlich wurden in den inneren Ringen die Steine durch Dreiecke ersetzt, um hier den einfachen Aufbau zu zeigen. Auch die Flächengleichheit der Mosaiksteine und der Dreiecke wird erkennbar.

Versuchen Sie im linken Bild das Siebeneck (in der Mitte) zu sehen, als das höchste Siebeneck eines fächerförmig aufgelegten Stapels. Alle anderen Siebenecke liegen sauber ausgerichtet darunter! --- Rechts: Chaos pur, mit 2 Steinen, ein nicht-periodisches Parkett. Das "5-er Dach" mit der zugehörigen "Raute", dem Rest des Ausgangs-Fünfeckes, wie man gut erkennen kann.

Unendlicher Ausflug:
Stellen wir uns vor, wir belegen mit den aufsteigenden "Vögeln" (2x 5-er Dach) des kleinen rechten Bildes ein ganzes Fußballfeld oder die Fläche Europas. Wir befänden uns in der Mitte dieser endlosen Fläche, wir könnten dann nicht feststellen, ob wir uns in einer periodischen Parkettierung befinden oder auch nicht! Irgendwo in Richtung der noch abzählbaren Unendlichkeit kann es eine Mitte des linken größeren Bildes geben, wenn denn jemand die Steinchen exakt so legt, wie es die Regel verlangt.... Von allgemeiner Bedeutung ist, daß man bei Steinen, die sowohl ohne als auch mit Winkeldrehung verlegt werden können, nie sicher sein kann, ob eine periodische oder aperiodische Parkettierung vorliegt !!!

Verschönerung:
In obigem Bild stören eventuell die 5 'Eselsohren'. Selbstverständlich kann man diese vermeiden und auch sonst noch Alternativen anbieten. Alles mit nur einem gleichen Stein:
Linkes Bild... Umlaufende Bänder gleichgerichtet           Rechtes Bild... Umlaufende Bänder entgegengesetzt

                                                   
Gleicher Stein... aber Chaos pur  
Daß man bei diesem Strickmuster auch mal 'trennen' muß, das sollte Sie nicht beunruhigen.  Geduld!
Mathe-Hintergrund:
Die Körperlänge eines dieser "Vögel" (oben links) ist 1 und der Abstand von seiner Schwanzspitze zu seiner Flügelspitze ist...
(Wurzel[5]+1) / 2 = 1.6180..... Mehr über den Goldenen Schnitt und "Goldene Schnittmuster" von Claus Schönleber und Frank Klinkenberg-Haaß lesen Sie auf der Homepage von Herrn Jürgen Köller:   http://www.mathematische-basteleien.de/   

Oben: Siebeneck-Parkett, nur zum Spass als Abwechslung!
Und wie geht es in der Ebene weiter mit dem Siebeneck? Kann man auch damit unendlich weit füllen? Antwort im nächsten Bild.
Unten: Dieses Siebeneck-Parkett wurde nur mit einem 7-Eck konstruiert. Die 7-Ecke liegen teilweise übereinander und erzeugen so weitere Mosaiksteine, beginnend in dem Zentrum links unten. Von dort ausgehend wurden zusätzlich große, gepunktete Rauten eingetragen. Diese sind eine "Inflation" jener kleinen Raute, die genau im Zentrum der gepunkteten liegt. Das Muster der großen Rauten - und somit die Parkettierung insgesamt - kann unendlich fortgesetzt werden, immer mit den Steinen der ersten Raute.

Zurück zu n=5    Nur 1 bis 2 Steine in den nächsten Bildern...

Zunächst 5er Rauten, als Grundmuster verkleinert:    
Diese 60 kongruemten Rauten können nun völlig beliebig gefüllt werden, immer mit der gleichen Anzahl von 'Kleines 5er Dach' (14x) und Raute' (8x). Als Hilfe können die Linien im Grundmuster dienen. Das 5er Zentrum (von oben) ist im nächsten Bild links unten bei der Zahl 213....

Allg. gilt für Bilder mit einem 5er Zentrum: Wählen Sie einen beliebigen Linienzug von der Mitte an den Rand des Parketts. Zu diesem Linienzug exakt um 36° bezw. 72° verdreht finden Sie die Wiederholung der Winkelparkettierung. Das Feld dazwischen ist beliebig gefüllt mit den 2 Steinen "Dach" und "Raute". Es sind somit unendlich viele Muster denkbar. Örtliche Kombinationen können sich wiederholen und sind - ein nächstes Element dazu genommen - doch wieder verschieden. In den unteren Bildern sind 'außen' zum Teil wieder periodische Muster zu finden...
Ähnlich zu den Penrose-Parkettierungen liefern die beiden Steine (oder auch nur EINER) eine unendliche Vielfalt an Mustern, auch Spiralen, Symmetrien, mehr und mehr. 

Kleiner Einschub:   Ein 'Wurm' - es sind die kleinen 5er Dächer in der Mitte - wurde umkleidet.... Von Zeit zu Zeit werde ich wohl weitere Anregungen anfügen... 

Das linke untere Bild zeigt ein 5-Eck mit den 2 Penrose Steinen (rot und grün). In dieser Anordnung dürfen die beiden nach der Verlegevorschrift nicht gesetzt werden. Gleiche Abbildung, daneben: Das zweite 5-Eck umschließt das "Kleine Dach" mit der darüber liegenden geteilten blauen "Raute".
Das rechte untere Bild zeigt die "Inflation" von 5-er "Kleines Dach" mit der eingebetteten halben "Raute". Es ist vermutlich die einzige Lösung einer selbstähnlichen Abbildung der beiden Steine. Die Flächenvergrößerung wurde per Programm gesucht (!). Anschließend erfolgte ein gezieltes Setzen mit der ermittelten Steinezahl. ( Linearer Faktor = [1+1.618..]*2 = 5.236 )

Nachtrag:

In dem oben genannten Artikel "Goldene Schnittmuster"... http://www.schoenleber.org/penrose/f-d-penrose.html
heißt es:

"In der Theorie bleiben (neben vielen beantworteten) noch einige Fragen offen. Beispielsweise möchte man wissen, ob es Elemente zur nicht-periodischen Parkettierung gibt, die nicht dem Goldenen Schnitt gehorchen. Und ob es nicht vielleicht ein einzelnes Element gibt, das ausschließlich zur nicht-periodischen Parkettierung verwendet werden kann."

Eigentlich gibt mein 7-er "Kleines Dach" auf beide Fragen die richtige Antwort, wenn - wie bei Penrose - eine "Domino-Regel" zugelassen wird. Zusammengefasst gilt für n=7:

• Eine Winkelteilung mit n >< 5 folgt - wie gefordert - nicht dem 'Goldenen Schnitt'.

• Z.B. füllen die Elemente der 7-er Teilung "Kleines Dach" die Ebene lückenlos und nicht-periodisch dann, wenn einmalig bei der Parkettierung die Startregel gilt: Die ersten 3 Elemente werden so gelegt, daß ihre Spitzen in einem Punkt zusammenfallen.
  Allgemein: Die Lage der ersten Elemente bestimmt den Verlauf der Figur. Anschließend geht die Verlegung ohne eine besondere Regel weiter.

Achtung: Diese Parkettierung benötigt nur einen Stein "Kleines Dach" (dunkelblau, Hintergrund). Wieder wurden 2 dieser Steine zu einem "Großen Dach" (grau) zusammengezogen. Die Architektur des Ovals wird so besser durchschaubar.
Und wieder kann man bei einem extrem großen Mosaik örtlich nicht erkennen, ob eine periodische oder aperiodische Parkettierung vorliegt !! Ein periodisch erscheinendes Parkett kann aperiodisch enden !!!

EIN EINZIGER Stein genügt....
wenn man das gleiche Strickmuster wie für n=7 (oben) für andere n<>7 benutzt :

Das Bild 'Konstrukt 1' zeigt die prinzipielle Konstruktion aperiodischer Flächendeckungen. Um eine Kernzelle - hier 6 rote Steine plus 1 grüner (!) - werden streng tangierend die weiteren Steine (blau) gesetzt. In die entstandenen Lücken sind in diesem Falle1 bis 3 weitere Steine einzufügen. Der grüne Stein ist eine erste Erweiterung des Kernes. Je mehr solcher 'Erweiterungen' verwendet werden, desto verschiedener die Lösungen (...unendlich viele!). Nebenbei: Statt des roten Kernes kann natürlich das 10_Eck des allerersten Bildes dieser Seite treten... Es schließt sich der Kreis.
Am Beispiel der Doppelspirale zeigen die drei Bilder (5,6,8), daß auch aus dem Fünf-, Sechs- oder Achteck mit Hilfe des beschriebenen Steines Dach eine nichtperiodische Parkettierung entwickelt werden kann. Die Lage der ersten Steine einer jeden Farbe bestimmt wesentlich die Figur. Das Prinzip ist immer gleich, die ersten Steine 'hängen quasi ineinander'. Anschließend besteht keine zwingende Domino-Regel in Bezug auf eine aperiodische Anordnung. 

     n=5     n=6
   ( n=7  siehe oben )
         n=8     n=9 !!!

   Am Achteck (Stein leicht herstellbar, unten) läßt sich sehr gut erkennen, wann eine Spirale entsteht - und wann nicht !

  

   Und selbst beliebige Formen sind denkbar. Finden Sie bitte die kleinste Kernzelle mit 6 Steinen (!) in dem 5er Vogelbauch...

Ich wünsche viel Spaß bei eigenen Kompositionen. Aufgelockert ist zu bedenken:
Mit 0 (null) Steinen geht es vermutlich nicht!
Erste Veröffentlichung dieser Art von Parkettierungen in 2001/02.