Integer/Ganzzahl-Knobeleien

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Ganze Zahlen hat der liebe Gott gemacht ..., sagte Leopold Kronecker (1823-1891)
Ganze Zahlen sind Primzahlen oder Produkte aus Primzahlen. Sie bieten außerhalb der Zahlentheorie ein weites Feld für Problemstellungen und Lösungen scheinbar ganz verschiedener Art.

Wer löst eine der 4 Kostproben?

1. Tangierende Kreise

Im Zentrum eines Koordinatensysstems liegt der Mittelpunkt eines Kreises, dessen Durchmesser das Produkt der 4 kleinsten Primzahlen ist. Sein Radius ist somit   R = 105.
Es sind 5 verschieden große Kreise und deren Koordinaten anzugeben, die den Basiskreis alle innen an verschiedenen Punkten tangieren. Jeder dieser Kreise tangiert außerdem mindest 2 der 5 Kreise. - Interessant ist nun, daß alle Radien der Kreise und deren Koordinaten ganzzahlig sind und ebenfalls nur aus Produkten der 4 kleinsten Primzahlen bestehen. (0 ist ein ganzzahliger Wert!) -  Auf welcher geometrischen Figur beruht die Lösung?

2. Sechseck-Problem

Gegeben ist ein regelmäßiges Sechseck mit der Seitenlänge 4225. D.h., die 6 Ecken liegen auf einem Kreis mit dem Radius 4225. Nun besteht die Aufgabe, jede der 6 Seiten auf einen anderen Wert so zu verändern, daß deren Längen ganzzahlig bleiben und die Ecken des neuen unregelmäßigen Sechseckes weiterhin auf dem Kreis mit dem Radius 4225 liegen. Nochmals deutlich: 6 verschiedene Seiten! In unserer Computerzeit sollte neben der Angabe der 6 ganzen Zahlen ein Lösungsansatz aus der klassischen Geometrie genannt werden.
 

24.9.2000    Erste korrekte Lösung zu Frage 1    von C. Claus

Ende Sept. 2000    F. Graetz aus München lieferte (computergestützt) auch mir neue Erkenntnisse zu 1. und 2. - Insbesondere bei Aufgabe 2 sollte sein Hinweis zum gesuchten Original führen:
Zu 1. gibt es sehr viele Lösungen! Diese gehen dann auf mehrere "geometrische Figuren" zurück. Bei meiner Lösung, die nur eine "Figur" benötigt, verschwieg ich absichtlich, daß symmetriebedingt 8 tangierende Kreise vorhanden sind (5 verschiedene und 3 Wiederholungen). 
Zu 2. Auch hier gibt es viele Lösungen, was mir bekannt war. G. fand, daß es auf dem gegebenen Radius 18 Punkte gibt, die untereinander alle ganzzahlige Abstände haben! - Tip: Die Zahl 18 weist Ihnen eventuell den Weg zur Geometrie meiner Frage!

3. Gleichflächiger Körper

Gegeben ist ein Rechteck mit den Seitenlängen 45 und 104, das einen gleichflächigen Körper exakt umhüllt. Welche ganzzahligen Maße bestimmen die Flächen des Körpers? In das Rechteck wären die Falzlinien einzutragen.

4. Pyramidenvolumen

Auszugehen ist von einem schiefwinkeligen Dreieck mit den Seiten 250, 488 und 534. Verbindet man die Mittenpunkte der 3 Seiten, ergeben sich 4 Dreiecke mit den Seiten 125, 244 und 267. Klappt man die 3 äußeren nach oben, läßt sich eine total schiefwinkelige Pyramide errichten. - Wie kann man beweisen, daß das Volumen dieser Pyramide einen ganzzahligen Wert hat?

Man schlug mir vor: "Keine Lösungen angeben, höchstens Tips, um den Spaß zu erhalten!"
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